📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 12 im Überblick: Das Bernoulli-Experiment hat genau zwei Ergebnisse (p und q=1−p). Die Binomialverteilung P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer bei n unabhängigen Versuchen. Erwartungswert E(X)=n·p und Standardabweichung σ(X)=√(n·p·(1−p)) beschreiben Mittelwert und Streuung. Kumulierte Wahrscheinlichkeiten: P(X≤k)=Summe von 0 bis k, P(X≥k)=1−P(X≤k−1) (Gegenereignis). Bei Sachaufgaben zuerst n, k, p korrekt zuordnen — Vorsicht bei Gegenereignis-Formulierungen im Text.
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: Was ist n, was ist p, und beschreibt der Text vielleicht das Gegenereignis?
Beispiel 1
Ein Glücksrad hat eine Trefferwahrscheinlichkeit von 30% (p=0,3). Wie hoch ist die Gegenwahrscheinlichkeit (kein Treffer)?
p=30% ⟹ q=? — Bernoulli-Experiment
- 70%, denn q=1−p=100%−30%=70%
- 30%, denn die Gegenwahrscheinlichkeit wird mit p selbst verwechselt
- 50%, denn die Gegenwahrscheinlichkeit wird fälschlich immer als 50% angenommen
So kommst du darauf: q=1−p=100%−30%=70%.
Beispiel 2
Eine Münze wird 4-mal geworfen (p=0,5 für Kopf). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für GENAU 2 Mal Kopf?
n=4, k=2, p=0,5 — die Binomialverteilung
- C(4,2)·0,5²·0,5²=6·0,25·0,25=0,375, denn P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)
- 0,5²=0,25, der Binomialkoeffizient wird vergessen
- 0,5⁴=0,0625, es wird nur p⁴ statt der vollständigen Formel gerechnet
So kommst du darauf: P(X=2)=C(4,2)·0,5²·0,5²=6·0,0625·4=0,375.
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