📌 Das Wichtigste in einem Satz
Um zu prüfen, ob ein Punkt P auf der Geraden g:X=A+t·u liegt, setzt man P=A+t·u und löst DREI Gleichungen (eine pro Koordinate) jeweils nach t auf. Ergeben ALLE DREI Gleichungen DENSELBEN Wert für t, liegt P auf der Geraden. Ergibt auch nur EINE der drei Gleichungen einen anderen Wert für t, liegt P NICHT auf der Geraden.
Merkregel: P=A+t·u lösen für x, y, z einzeln. Alle drei t-Werte gleich → P liegt auf g. Nur einer anders → P liegt NICHT auf g.
Beispiel 1
Wie prüft man, ob ein Punkt P auf der Geraden g:X=A+t·u liegt?
Punktprobe
- Man löst P=A+t·u für jede Koordinate einzeln nach t auf — ergeben alle drei denselben Wert, liegt P auf g
- Man prüft nur, ob P und A gleich weit vom Ursprung entfernt sind
- Man setzt t=0 ein und schaut, ob X=P herauskommt
So kommst du darauf: Die Punktprobe löst P=A+t·u komponentenweise nach t auf — stimmen alle drei t-Werte überein, liegt P auf der Geraden.
Beispiel 2
Liegt P(5|0|11) auf der Geraden g:X=(1;2;3)+t·(2;−1;4)?
A=(1;2;3), u=(2;−1;4), P=(5;0;11)
- Ja, denn (5−1):2=2, (0−2):(−1)=2, (11−3):4=2 — alle drei ergeben t=2
- Nein, weil P nicht mit A übereinstimmt
- Das lässt sich ohne Zeichnung nicht bestimmen
So kommst du darauf: Alle drei Koordinatengleichungen ergeben denselben Wert t=2, also liegt P auf der Geraden.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich ALLE DREI Gleichungen prüfen muss — nicht nur eine oder zwei?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Punktprobe: Liegt ein Punkt auf der Geraden?. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen