📌 Das Wichtigste in einem Satz
Um den Schnittpunkt zweier (nicht-paralleler) Geraden g1:X=A1+t·u1 und g2:X=A2+s·u2 zu finden, setzt man beide gleich: A1+t·u1=A2+s·u2. Das ergibt DREI Gleichungen (je eine für x, y, z) mit den ZWEI Unbekannten t und s. Man löst ZWEI der drei Gleichungen nach t und s auf und setzt die Lösung in die DRITTE Gleichung ein: Stimmt sie, schneiden sich die Geraden (Schnittpunkt einsetzen). Stimmt sie NICHT, sind die Geraden windschief.
Merkregel: A1+t·u1=A2+s·u2 → 3 Gleichungen, 2 Unbekannte (t,s). Zwei lösen, dritte zur Probe.
Beispiel 1
Wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte hat man beim Gleichsetzen von g1:X=A1+t·u1 und g2:X=A2+s·u2?
A1+t·u1 = A2+s·u2
- 3 Gleichungen (x, y, z), 2 Unbekannte (t und s)
- 2 Gleichungen, 2 Unbekannte
- 3 Gleichungen, 3 Unbekannte
So kommst du darauf: Jede Koordinate (x, y, z) liefert eine Gleichung — das sind drei. Gesucht sind aber nur t und s — zwei Unbekannte.
Beispiel 2
Warum reicht es nicht, nur zwei der drei Gleichungen zu lösen und das Ergebnis sofort als Schnittpunkt zu übernehmen?
Warum die dritte Gleichung als Probe?
- Weil t und s aus zwei Gleichungen eindeutig bestimmt sind — ob die Geraden sich WIRKLICH schneiden, zeigt sich erst, wenn diese Werte auch die dritte Gleichung erfüllen
- Die dritte Gleichung ist reine Formsache und liefert immer ein passendes Ergebnis
- Man braucht die dritte Gleichung nur bei parallelen Geraden
So kommst du darauf: t und s werden aus zwei Gleichungen berechnet — die dritte Gleichung ist die einzige Möglichkeit zu prüfen, ob wirklich EIN gemeinsamer Punkt existiert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich die DRITTE Gleichung als PROBE nutze, nachdem ich t und s aus den ersten beiden berechnet habe?"
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