📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die Normalvektorform einer Ebene lautet n∘X=n∘A, meist geschrieben als n₁x+n₂y+n₃z=d. Dabei ist n=(n₁;n₂;n₃) der Normalvektor — ein Vektor, der senkrecht auf JEDEM Vektor in der Ebene steht. Die Zahl d berechnet man, indem man einen BELIEBIGEN bekannten Punkt A der Ebene einsetzt: d=n∘A (Skalarprodukt aus Modul 3). Ein Punkt P liegt genau dann in der Ebene, wenn n∘P=d gilt.
Merkregel: n₁x+n₂y+n₃z=d. d=n∘A (mit einem bekannten Punkt A der Ebene). Punktprobe: n∘P=d?
Beispiel 1
Wie lautet die Normalvektorform einer Ebene?
E: ? = d
- n₁x+n₂y+n₃z=d, mit n=(n₁;n₂;n₃) als Normalvektor
- x+y+z=n
- n₁+n₂+n₃=d
So kommst du darauf: Die Normalvektorform verknüpft die Koordinaten x,y,z linear über den Normalvektor n mit der Zahl d.
Beispiel 2
Für n=(2;3;−1) und den bekannten Ebenenpunkt A=(1;2;3): berechne d=n∘A
n=(2;3;−1), A=(1;2;3)
- d=5, denn n∘A=2·1+3·2+(−1)·3=2+6−3=5
- d=4, denn n∘A=2+3+(−1)=4
- d=6, denn n∘A=n·A komponentenweise multipliziert statt Skalarprodukt
So kommst du darauf: d=n∘A=2·1+3·2+(−1)·3=2+6−3=5. Die Ebene lautet also 2x+3y−z=5.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich d berechne, indem ich einen BEKANNTEN Punkt der Ebene ins Skalarprodukt mit n einsetze?"
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