📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für eine Folge an=(a·n+b)/(c·n+d) bestimmt man den Grenzwert für n→∞, indem man Zähler und Nenner durch n (die höchste Potenz von n) dividiert: an=(a+b/n)/(c+d/n). Da b/n→0 und d/n→0 für n→∞ gilt, bleibt lim an = a/c — das Verhältnis der beiden n-Koeffizienten. Für konvergente Folgen (an) und (bn) mit Grenzwerten A und B gelten die Grenzwertsätze: lim(an+bn)=A+B, lim(an·bn)=A·B, und lim(an/bn)=A/B (falls B≠0).
Merkregel: bei gleichem Grad in Zähler und Nenner ist der Grenzwert das Verhältnis der n-Koeffizienten — durch n dividieren, dann b/n→0 und d/n→0.
Beispiel 1
Bestimme den Grenzwert der Folge an=(4n+3)/(2n−1) für n→∞
an = (4n+3)/(2n−1), n→∞
- 2, denn lim an = 4/2 = 2 (Verhältnis der n-Koeffizienten)
- 4, der Nenner-Koeffizient beim Kürzen vergessen
- −3, das Verhältnis der Konstanten 3/(−1) statt der n-Koeffizienten verwendet
So kommst du darauf: Zähler und Nenner durch n dividieren: an=(4+3/n)/(2−1/n) → für n→∞ bleibt 4/2=2.
Beispiel 2
Warum gilt lim(3/n)=0 für n→∞?
Warum lim(3/n) = 0?
- Weil der Nenner n über alle Grenzen wächst, während der Zähler 3 konstant bleibt — der Bruch wird dadurch beliebig klein und nähert sich 0 an
- Weil 3/n für jedes n immer genau 0 ergibt
- Das gilt nur, wenn n eine gerade Zahl ist
So kommst du darauf: Ein konstanter Zähler geteilt durch einen unbegrenzt wachsenden Nenner strebt gegen 0.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM b/n und d/n gegen 0 gehen, wenn n gegen unendlich geht?"
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