Modul 1: Grenzwerte und Stetigkeit
- Grenzwerte von Folgen vertieftDer Trick: durch die höchste Potenz von n dividieren
- Grenzwerte von Funktionen für x→∞Die waagrechte Asymptote ist ein Grenzwert
- Grenzwerte an einer StelleLinks- und rechtsseitiger Grenzwert müssen übereinstimmen
- Stetigkeit einer FunktionGrenzwert und Funktionswert müssen übereinstimmen
- Grenzwerte rationaler FunktionenBei hebbaren Lücken existiert der Grenzwert — bei Polstellen nicht
- M1-MeisterprüfungGrenzwerte und Stetigkeit in einer Prüfung
Modul 2: Der Ableitungsbegriff
- Die mittlere ÄnderungsrateDer Differenzenquotient — die Steigung der Sekante
- Die momentane ÄnderungsrateDie Ableitung — der Grenzwert des Differenzenquotienten
- Die Tangente an einen FunktionsgraphenVon der Steigung zur vollständigen Geradengleichung
- Die AbleitungsfunktionVon einem einzelnen Wert zu einer neuen Funktion
- Ableitung und DifferenzierbarkeitStetig reicht nicht — bei einem Knick gibt es keine Ableitung
- M2-MeisterprüfungDer Ableitungsbegriff in einer Prüfung
Modul 3: Ableitungsregeln
- Potenzregel und FaktorregelAbleiten ohne Grenzwertbildung — für jeden Exponenten
- Die SummenregelJeden Summanden einzeln ableiten
- Die ProduktregelNicht einfach die Ableitungen multiplizieren!
- Die QuotientenregelReihenfolge im Zähler zählt — und der Nenner wird quadriert
- Die KettenregelÄußere Ableitung mal innere Ableitung
- Ableitung von e-Funktion, ln, sin und cosVier neue Grundformeln zum Auswendiglernen
- M3-MeisterprüfungAlle Ableitungsregeln in einer Prüfung
Modul 4: Monotonie und Extremwerte
- Monotonie mittels erster AbleitungDas Vorzeichen von f'(x) verrät, ob der Graph steigt oder fällt
- Notwendige und hinreichende Bedingung für Extremaf'(x0)=0 allein reicht noch nicht
- Lokale Maxima und Minima bestimmenf'(x)=0 lösen, dann die Art des Extremums bestimmen
- Globale Extrema auf einem IntervallKritische Stelle UND Randpunkte vergleichen
- Extrema in AnwendungssituationenDie kritische Stelle finden UND im Sachkontext deuten
- M4-MeisterprüfungMonotonie, Extrembedingung, lokale und globale Extrema in einer Prüfung
Modul 5: Wendepunkte und Krümmungsverhalten
- Die zweite AbleitungZweimal ableiten — f'' ist die Ableitung von f'
- Krümmungsverhalten (konvex/konkav)Das Vorzeichen von f'' verrät die Krümmung
- Wendepunkte bestimmenf''(x)=0 lösen — dort wechselt die Krümmung
- SattelpunkteWenn kritischer Punkt UND Wendepunkt zusammenfallen
- Zusammenhang 1. und 2. AbleitungDie zweite Ableitung als schnellerer Extremwert-Test
- M5-MeisterprüfungZweite Ableitung, Krümmung, Wendepunkte und Sattelpunkte in einer Prüfung
Modul 6: Vollständige Kurvendiskussion
- Definitionsbereich, Nullstellen, SymmetrieDie ersten drei Schritte jeder Kurvendiskussion
- Ableitungen berechnen (Vorbereitung)f' und f'' für die vollständige Kubik — beide auf einmal
- Monotonie- und ExtremwertuntersuchungEine Kubik hat oft ZWEI kritische Stellen — beide einzeln klassifizieren
- Krümmungs- und WendepunktuntersuchungDen Wendepunkt finden UND die Krümmungsintervalle bestimmen
- Verhalten im Unendlichen & Graph skizzierenDer Leitterm entscheidet — und alle Puzzleteile fügen sich zusammen
- M6-MeisterprüfungSymmetrie, Ableitungen, Extrema, Wendepunkte und Verhalten im Unendlichen in einer Prüfung
Modul 7: Extremwertaufgaben
- Was ist eine Extremwertaufgabe?Zielfunktion, Nebenbedingung, und die Methode in fünf Schritten
- Zielfunktion aus einer Nebenbedingung aufstellenDiesmal: eine Volumen-Nebenbedingung statt eines Umfangs
- Extremwertaufgaben aus der GeometrieDie volle Rechnung: von der Nebenbedingung bis zur Lösung
- Extremwertaufgaben aus Alltag & WirtschaftGewinn ist NICHT dasselbe wie Erlös — Kosten abziehen nicht vergessen
- Randextrema erkennen und prüfenWenn das freie Maximum außerhalb des erlaubten Bereichs liegt
- M7-MeisterprüfungZielfunktion, Nebenbedingung, Geometrie, Wirtschaft und Randextrema in einer Prüfung
Modul 8: Anwendungen der Ableitung
- Momentangeschwindigkeit und -beschleunigungv(t)=s'(t), a(t)=v'(t) — Physik trifft Ableitung
- Grenzkosten, Grenzerlös, GrenzgewinnGrenzkosten K'(x) ≠ Durchschnittskosten K(x)/x
- Änderungsraten in SachsituationenDie Ableitung als Änderungsrate — überall dieselbe Idee
- Das Newton-VerfahrenNullstellen annähern, wenn eine exakte Lösung schwer zu finden ist
- Ableitung und WachstumsmodelleN'(t)=k·N(t) — die Wachstumsrate ist proportional zum aktuellen Bestand
- M8-MeisterprüfungPhysik, Wirtschaft, Sachsituationen, Newton-Verfahren und Wachstumsmodelle in einer Prüfung
Modul 9: Trigonometrische Gleichungen
- Einfache trigonometrische Gleichungen lösensin(x)=a rückwärts lösen — im Bereich [0°, 90°]
- Periodizität nutzen — alle Lösungen findensin(180°−x)=sin(x) — meist gibt es ZWEI Lösungen pro Periode
- Gleichungen mit Kosinus und Tangenscos: zweite Lösung 360°−α. tan: nur EINE Lösung pro 180°-Periode
- Gleichungen mit mehrfachem Winkelsin(2x)=a: substituieren, lösen, dann durch 2 teilen — nicht vergessen!
- Anwendungen: Schwingungeny(t)=A·sin(ωt): eine Feder, ein Pendel, eine Schaukel — überall dieselbe Formel
- M9-MeisterprüfungEinfache Gleichungen, alle Lösungen, Kosinus, Tangens, mehrfache Winkel und Schwingungen in einer Prüfung
Modul 10: Polynomfunktionen vertieft
- Nullstellen höheren Grades und Vielfachheitf(x)=(x−a)^k·...: der Exponent k verrät, ob der Graph die x-Achse berührt oder schneidet
- Das Horner-SchemaJeden Wert mit a multiplizieren und den nächsten Koeffizienten addieren — Schritt für Schritt
- Polynomdivision vertieft mit RestgliedNicht jede Division geht auf — der Rest gehört genauso zur Antwort wie der Quotient
- Ganzrationale Nullstellen erratenNicht raten müssen: nur Teiler des konstanten Glieds kommen als ganzzahlige Nullstellen infrage
- Graphen von Polynomfunktionen höheren GradesGrad, Extremstellen und Vielfachheit zusammen lesen — ein Graph verrät mehr, als man denkt
- M10-MeisterprüfungVielfachheit, Horner-Schema, Restglied, Nullstellen erraten und Graphen höheren Grades in einer Prüfung
Modul 11: Die Kugel im Raum
- Die Kugelgleichung(x−mx)²+(y−my)²+(z−mz)²=r²: Mittelpunkt und Radius aus der Gleichung lesen
- Lagebeziehung Punkt–Kugel|MP| gegen r vergleichen: innerhalb, auf, oder außerhalb der Kugel?
- Lagebeziehung Gerade–KugelSekante, Tangente, oder gar kein gemeinsamer Punkt — der Abstand d entscheidet
- Schnittkreis Ebene–Kugelr_K=√(r²−d²): Pythagoras verbindet Kugelradius, Abstand und Schnittkreisradius
- Die Tangentialebene an eine KugelDer Radius zum Berührpunkt ist der Normalvektor — MP=P−M
- M11-MeisterprüfungKugelgleichung, Lagebeziehungen, Schnittkreis und Tangentialebene in einer Prüfung
Modul 12: Die Normalverteilung
- Von der Binomial- zur NormalverteilungBei großem n wird die Binomialverteilung zur glockenförmigen Normalverteilung — mit denselben μ und σ
- Die StandardnormalverteilungDie EINE Normalverteilung mit μ=0 und σ=1 — symmetrisch, Gesamtfläche immer 1
- Standardisieren (die z-Transformation)z=(x−μ)/σ: jede Normalverteilung auf die eine Standardnormalverteilungs-Tabelle zurückführen
- Die Sigma-Regeln68,3% – 95,5% – 99,7%: wie viele Werte liegen im Intervall μ±1σ, μ±2σ, μ±3σ?
- Wahrscheinlichkeiten mit der Normalverteilung berechnenΦ(z) aus der Tabelle ist die Fläche LINKS von z — für rechts davon: 1−Φ(z)
- Sachaufgaben mit der NormalverteilungAnzahl im Intervall = N·(Anteil in %) — die Sigma-Regeln in der Praxis
- M12-MeisterprüfungBinomial-Näherung, Standardisieren, Sigma-Regeln, Wahrscheinlichkeiten und Sachaufgaben in einer Prüfung
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