📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für lim(x→∞) f(x) bei einer rationalen Funktion f(x)=Zähler/Nenner vergleicht man die GRADE von Zähler und Nenner — genau wie bei den waagrechten Asymptoten aus der 6. Klasse: Grad Zähler < Grad Nenner ⟹ Grenzwert 0. Grad Zähler = Grad Nenner ⟹ Grenzwert = Verhältnis der Leitkoeffizienten. Grad Zähler > Grad Nenner ⟹ kein endlicher Grenzwert (die Funktion wächst über alle Grenzen). Die waagrechte Asymptote y=k einer Funktion ist genau der Grenzwert lim(x→∞) f(x)=k — beide Konzepte beschreiben dasselbe Verhalten.
Merkregel: lim(x→∞) f(x) = waagrechte Asymptote — Gradvergleich Zähler/Nenner entscheidet.
Beispiel 1
Für f(x)=5/(x−2): Grad des Zählers ist 0, Grad des Nenners ist 1. Wie hoch ist lim(x→∞) f(x)?
Grad Zähler=0, Grad Nenner=1
- 0, denn der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners
- 5, der Zählerwert wird direkt als Grenzwert übernommen
- Kein Grenzwert, da der Nenner einen höheren Grad hat
So kommst du darauf: Bei kleinerem Zählergrad geht die Funktion für x→∞ gegen 0.
Beispiel 2
Für f(x)=(6x−1)/(3x+4): Grad des Zählers ist 1, Grad des Nenners ist 1 (gleich). Wie hoch ist lim(x→∞) f(x)?
Grad Zähler=1, Grad Nenner=1, Leitkoeff. 6 und 3
- 2, denn lim(x→∞) f(x)=Leitkoeffizient Zähler/Leitkoeffizient Nenner=6/3=2
- 3, der Nennerkoeffizient wird direkt übernommen
- Kein Grenzwert, da beide Grade gleich sind
So kommst du darauf: Bei gleichem Grad: 6/3=2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die waagrechte Asymptote und der Grenzwert für x→∞ dasselbe sind?"
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