📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 12 im Überblick: bei großem n wird die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung mit denselben Kennwerten μ=n·p, σ=√(n·p·(1−p)) angenähert. Die Standardnormalverteilung hat μ=0, σ=1 und ist symmetrisch. Mit z=(x−μ)/σ standardisiert man jeden Wert, um die EINE Standardtabelle nutzen zu können. Die Sigma-Regeln (68,3% / 95,5% / 99,7% für 1σ/2σ/3σ) und die Φ-Tabelle (Φ(z)=P(Z
μ=n·p, σ=√(np(1−p)). Standardisieren: z=(x−μ)/σ. Sigma-Regeln: 68,3%/95,5%/99,7%. P(Z>z)=1−Φ(z).
Beispiel 1
Welche Werte haben Erwartungswert μ und Standardabweichung σ bei der STANDARDnormalverteilung?
Standardnormalverteilung: μ=?, σ=?
- μ=0 und σ=1 — das ist gerade die Definition der Standardnormalverteilung
- μ=1 und σ=0, die Werte vertauscht
- μ und σ können bei der Standardnormalverteilung beliebige Werte annehmen
So kommst du darauf: μ=0, σ=1 per Definition.
Beispiel 2
Eine normalverteilte Größe X hat μ=50, σ=10. Standardisiere den Wert x=70 (berechne z)
x=70, μ=50, σ=10
- z=2, denn z=(x−μ)/σ=(70−50)/10=2
- z=20, nur x−μ berechnet, ohne durch σ zu teilen
- z=7, μ beim Standardisieren vergessen (nur x/σ gerechnet)
So kommst du darauf: z=(70−50)/10=2.
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