📌 Das Wichtigste in einem Satz
Egal ob Weg (Modul 8.1), Kosten (Modul 8.2) oder jetzt Wasservolumen — die Ableitung bedeutet IMMER dasselbe: die momentane Änderungsrate. Für V(t) (Wasservolumen in Litern zur Zeit t in Minuten) ist V'(t) die momentane Änderungsrate — wie schnell das Volumen gerade zu- oder abnimmt. NEU in dieser Lektion: das VORZEICHEN von V'(t0) hat eine konkrete Bedeutung — V'(t0)>0 bedeutet das Volumen NIMMT ZU (Zufluss), V'(t0)<0 bedeutet es NIMMT AB (Abfluss). Das ist derselbe Zusammenhang wie bei der Monotonie aus Modul 4, nur jetzt auf eine reale Größe angewendet.
V'(t0)>0 ⟹ Volumen nimmt zu (Zufluss). V'(t0)<0 ⟹ Volumen nimmt ab (Abfluss). Immer: Ableitung = momentane Änderungsrate.
Beispiel 1
Ein Wassertank hat das Volumen V(t)=t²+4t (Liter, t in Minuten). Bestimme die Änderungsrate V'(3)
V(t)=t²+4t, t=3
- V'(3)=10, denn V'(t)=2t+4, und V'(3)=2·3+4=10
- V'(3)=21, den Volumenwert V(3) selbst berechnet, statt abzuleiten
- V'(3)=7, den Faktor 2 aus der Potenzregel beim Ableiten vergessen
So kommst du darauf: V'(t)=2t+4. V'(3)=6+4=10.
Beispiel 2
Ein Tank hat V(t)=−t²+8t (Liter). Bestimme V'(5) und deute das Vorzeichen
V(t)=−t²+8t, t=5
- V'(5)=−2, denn V'(t)=−2t+8, und V'(5)=−2·5+8=−2<0 — das Volumen NIMMT AB (Abfluss)
- V'(5)=−2, aber das bedeutet, das Volumen nimmt ZU
- V'(5)=−2, aber das Vorzeichen sagt hier nichts über Zu- oder Abfluss aus
So kommst du darauf: V'(5)=−2<0 — das Volumen nimmt ab, der Tank wird entleert.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum das Vorzeichen von V'(t0) verrät, ob der Tank gerade befüllt oder entleert wird?"
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