📌 Das Wichtigste in einem Satz
Nicht jede Gleichung f(x)=0 lässt sich exakt lösen (z.B. bei komplizierten Polynomen). Das NEWTON-VERFAHREN nähert eine Nullstelle iterativ an: ausgehend von einem Startwert x0 berechnet man x1=x0−f(x0)/f'(x0) — geometrisch: man folgt der TANGENTE bei x0 bis zu ihrer Nullstelle, und diese ist meist schon näher an der echten Nullstelle als x0. Wiederholt man das (x2 aus x1, usw.), kommt man der echten Nullstelle immer näher. Wichtig: man braucht sowohl f(x0) als auch f'(x0) — und die Formel hat ein MINUS, kein Plus.
x1=x0−f(x0)/f'(x0). Man folgt der Tangente bei x0 bis zu ihrer Nullstelle — das ist der nächste Näherungswert.
Beispiel 1
Für f(x)=x²−16 (Nullstelle bei x=4) mit Startwert x0=5: berechne den nächsten Näherungswert x1 mit dem Newton-Verfahren
f(x)=x²−16, x0=5
- x1=4,1, denn x1=x0−f(x0)/f'(x0)=5−(25−16)/10=5−0,9=4,1 — schon näher an der echten Nullstelle x=4
- x1=−4, das Ableiten f'(x0) im Nenner vergessen (x1=x0−f(x0) statt x0−f(x0)/f'(x0))
- x1=5,9, das Vorzeichen falsch — addiert statt subtrahiert
So kommst du darauf: f(5)=25−16=9. f'(5)=10. x1=5−9/10=5−0,9=4,1.
Beispiel 2
Warum hat die Newton-Formel ein MINUSZEICHEN, x1=x0−f(x0)/f'(x0), und kein Pluszeichen?
Warum Minus, nicht Plus?
- Weil man der TANGENTE bei x0 bis zu ihrer eigenen Nullstelle folgt — das Minuszeichen sorgt dafür, dass man sich in Richtung der echten Nullstelle von f bewegt, nicht von ihr weg
- Das Vorzeichen ist willkürlich gewählt, ein Plus würde genauso gut funktionieren
- Das Minuszeichen dient nur dazu, negative x-Werte zu vermeiden
So kommst du darauf: Die Herleitung kommt aus der Tangentengleichung bei x0 — ihre Nullstelle liegt bei x0−f(x0)/f'(x0), mit Minus.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum die Newton-Formel ein Minuszeichen hat, und warum man sowohl f(x0) als auch f'(x0) braucht?"
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