📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die 7. Klasse drehte sich ums Ableiten: aus f(x) wurde f'(x). Die 8. Klasse dreht die Frage um: gegeben ist f(x) — welche Funktion F(x) hat GENAU DIESES f(x) als Ableitung? Diese Funktion F(x) heißt Stammfunktion von f(x), und es gilt per Definition F'(x)=f(x). Man findet eine Stammfunktion, indem man Kandidaten ABLEITET und prüft, ob das Ergebnis f(x) ergibt — Stammfunktion-Finden ist also eng mit dem Ableiten verwandt, aber die entgegengesetzte Denkrichtung.
F(x) ist Stammfunktion von f(x) ⟺ F'(x)=f(x). Prüfen: F(x) ableiten und mit f(x) vergleichen.
Beispiel 1
Welche der folgenden Funktionen ist eine Stammfunktion von f(x)=4x − 2?
f(x)=4x − 2
- F(x)=2x² − 2x + 5, denn F'(x)=4x − 2=f(x) (mit der Potenzregel geprüft)
- F(x)=4x² − 2x + 5, den Exponenten beim Aufleiten nicht durch die Division ausgeglichen
- F(x)=4x − 2, einfach f(x) selbst als Stammfunktion übernommen
So kommst du darauf: F'(x)=4x−2=f(x).
Beispiel 2
Was bedeutet es, dass F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist?
F(x) ist Stammfunktion von f(x)
- F'(x)=f(x) — leitet man F ab, erhält man wieder f
- F(x)=f(x) für alle x — F und f sind dieselbe Funktion
- Man setzt f(x) für x in F(x) ein
So kommst du darauf: Definition: F'(x)=f(x).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, wie ich prüfe, ob eine gegebene Funktion F(x) wirklich eine Stammfunktion von f(x) ist?"
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