📌 Das Wichtigste in einem Satz
Die Potenzregel beim Ableiten lautet (xⁿ)'=n·xⁿ⁻¹ — der Exponent wird VERRINGERT. Beim Aufleiten (Stammfunktion finden) dreht man das um: eine Stammfunktion von a·xⁿ ist (a/(n+1))·xⁿ⁺¹ — der Exponent wird um 1 ERHÖHT, und der Koeffizient wird durch den NEUEN Exponenten geteilt. Zwei Fehler passieren besonders oft: den Exponenten erhöhen, aber vergessen den Koeffizienten anzupassen — oder umgekehrt, den Koeffizienten anpassen, aber den Exponenten unverändert lassen.
Stammfunktion von a·xⁿ: (a/(n+1))·xⁿ⁺¹. Exponent erhöhen UND Koeffizient durch den neuen Exponenten teilen — beides zusammen.
Beispiel 1
Bestimme eine Stammfunktion von f(x)=6x²
f(x)=6x²
- F(x)=2x³, denn man erhöht den Exponenten um 1 (auf 3) und teilt den Koeffizienten durch den neuen Exponenten 3: 6:3=2
- F(x)=6x³, den Exponenten erhöht, aber vergessen den Koeffizienten durch den neuen Exponenten zu teilen
- F(x)=2x², den Koeffizienten korrekt anpasst, aber den Exponenten NICHT erhöht
So kommst du darauf: Exponent 3, Koeffizient 6:3=2.
Beispiel 2
Die Regel für Stammfunktionen von Potenzfunktionen lautet: eine Stammfunktion von a·xⁿ ist (a/(n+1))·xⁿ⁺¹. Warum steht im Exponenten n+1 und nicht einfach n?
Warum n+1 im Exponenten?
- Weil man diese Regel durch Umkehren der Potenzregel beim Ableiten erhält: (xⁿ⁺¹)'=(n+1)·xⁿ — der Exponent beim Ableiten wird um 1 verringert, also muss er beim Aufleiten um 1 ERHÖHT werden
- Weil man beim Aufleiten immer 1 zum Exponenten addiert, aus reiner Konvention, ohne tieferen Grund
- n+1 ist ein Schreibfehler — richtig wäre einfach n, derselbe Exponent wie bei f(x)
So kommst du darauf: Umkehrung der Potenzregel.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, warum man beim Aufleiten durch den NEUEN Exponenten teilt, nicht durch den alten?"
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