Modul 1: Die Stammfunktion
- Was ist eine Stammfunktion?F'(x)=f(x): die Umkehrung der Ableitung — der Start in die Integralrechnung
- Stammfunktionen von PotenzfunktionenExponent erhöhen, Koeffizient durch den neuen Exponenten teilen — die Umkehrung der Potenzregel
- Stammfunktionen von Exponential- und Winkelfunktionene^(kx) braucht Division durch k — und bei sin(x) taucht ein Minuszeichen auf
- Die Integrationskonstante CWarum es zu jeder Funktion unendlich viele Stammfunktionen gibt
- Stammfunktion mit Anfangsbedingung bestimmenEin Punkt auf dem Graphen legt C eindeutig fest
- M1-MeisterprüfungPotenz-, Exponential- und Winkelfunktionen aufleiten, die Integrationskonstante C und Anfangsbedingungen in einer Prüfung
Modul 2: Das bestimmte Integral und der Hauptsatz
- Das bestimmte Integral als Flächeninhalt∫ₐᵇ f(x)dx misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse
- Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung∫ₐᵇ f(x)dx = F(b)−F(a) — der zentrale Satz der Analysis
- Bestimmte Integrale berechnenErst aufleiten, dann den Hauptsatz anwenden — auch bei mehreren Termen
- Rechenregeln für bestimmte IntegraleFaktorregel, Summenregel, Intervalladditivität und Grenzen-Vertauschen
- Orientierte Flächen: negative Integralwerte deutenEin Flächeninhalt ist nie negativ — auch wenn das Integral es ist
- M2-MeisterprüfungFlächeninhalt, Hauptsatz, Integrale berechnen, Rechenregeln und orientierte Flächen in einer Prüfung
Modul 3: Integrationsregeln
- Integration durch lineare SubstitutionBei (kx+d) im Funktionsterm kommt ein zusätzlicher Divisionsfaktor k dazu
- Integrationsregeln im ÜberblickWelche Regel gehört zu welcher Funktionsart — und wann ist zusätzlich eine Substitution nötig?
- M3-MeisterprüfungLineare Substitution und die passende Regel für jede Funktionsart in einer Prüfung
Modul 4: Flächenberechnung mit Integralen
- Fläche zwischen Kurve und x-AchseOhne gegebene Grenzen: erst die Nullstellen finden
- Fläche zwischen zwei KurvenObere minus untere Funktion, dann integrieren
- Uneigentliche Flächen erkennenErst prüfen: ist f auf dem GANZEN Intervall definiert und stetig?
- M4-MeisterprüfungKurve und x-Achse, zwei Kurven, uneigentliche Flächen in einer Prüfung
Modul 5: Rotationskörper
- Rotationskörper und ihr VolumenV=π·∫ₐᵇ[f(x)]²dx — quadrieren, integrieren, mit π multiplizieren
- Rotationsvolumen berechnenBeim Quadrieren wird der Exponent VERDOPPELT, nicht erhöht
- Rotationskörper zwischen zwei KurvenBeide Funktionen EINZELN quadrieren, dann subtrahieren — nicht umgekehrt
- Bekannte Körper durch Rotation herleitenKegel- und Kugelvolumen aus der Unterstufe — jetzt mit Integration bewiesen
- M5-MeisterprüfungRotationsvolumen, Hohlkörper und die Herleitung bekannter Formeln in einer Prüfung
Modul 6: Weitere Anwendungen
- Der Mittelwert einer Funktionm=1/(b−a)·∫ₐᵇf(x)dx — erst integrieren, dann durch die Intervalllänge teilen
- Bestand aus der Änderungsrate rekonstruierenB(q)=B(0)+∫₀ᵠr(t)dt — Anfangsbestand plus das Integral der Änderungsrate
- Verschiebung und Strecke in der KinematikVerschiebung=∫v(t)dt (Vorzeichen zählt) — Strecke=Summe der Beträge (Hin- und Rückweg zählen beide)
- Integrale in wirtschaftlichen ZusammenhängenK(q)=K(0)+∫₀ᵠK'(x)dx — Fixkosten plus das Integral der Grenzkostenfunktion
Modul 6: Weitere Anwendungen der Integralrechnung
Modul 7: Algebra und Geometrie: Vertiefung
- Bruchgleichungen lösenKreuzweise multiplizieren, lösen, dann die Lösung mit der Definitionsmenge vergleichen
- Potenz- und Wurzelgleichungen vertieftx^(p/q)=c → mit dem Kehrwert (q/p) potenzieren, um x zu isolieren
- Das SpatproduktV=|(a×b)·c| — erst das Kreuzprodukt, dann das Skalarprodukt, dann der Betrag
- Algebra trifft GeometrieAus einer Abstandsbedingung auf einer Geraden wird eine quadratische Gleichung
- M7-MeisterprüfungBruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Spatprodukt und Synthese in einer Prüfung
Modul 8: Funktionale Zusammenhänge: Vertiefung
- Funktionen verketten(f∘g)(x)=f(g(x)) — zuerst g einsetzen, dann das Ergebnis in f einsetzen
- Umkehrfunktionen bestimmeny=f(x) nach x auflösen — nicht f(x) einfach umbenennen
- Transformationen von Funktionsgraphen vertieftg(x)=a·f(x−h)+k — x-Koordinate um h verschieben, y-Koordinate mit a strecken und um k verschieben
- Sachaufgaben mit gemischten FunktionstypenFester Betrag → linear. Fester Faktor → exponentiell. Konstante Beschleunigung → quadratisch.
- M8-MeisterprüfungVerkettung, Umkehrfunktionen, Transformationen und Modellierung in einer Prüfung
Modul 9: Analysis: Vertiefung
- Kurvenscharen: Parameter bestimmenBedingung einsetzen (Punkt oder Extremstelle), dann nach dem Parameter a auflösen
- Rotationskörper um die y-Achsex als Funktion von y ausdrücken, dann V=π∫[g(y)]²dy — über y statt über x integrieren
- Numerische Integration: die TrapezregelT=h/2·(y0+2y1+y2) — der mittlere Wert zählt doppelt, weil er zu zwei Trapezen gehört
- Extremstellen einer Bestandsfunktionr(t)=B'(t) — eine Extremstelle von B liegt genau bei einem Vorzeichenwechsel von r
- M9-MeisterprüfungKurvenscharen, Rotation um die y-Achse, Trapezregel und Bestandsfunktionen in einer Prüfung
Modul 10: Wahrscheinlichkeit & Statistik: Vertiefung
- Der Anteilswert und sein StandardfehlerVon der Stichprobe zur Grundgesamtheit — wie genau ist eine Schätzung?
- Das Konfidenzintervall für den AnteilswertMit wie viel Sicherheit lässt sich vom Stichprobenwert auf die Grundgesamtheit schließen?
- Der Hypothesentest zum AnteilswertStimmt eine Behauptung mit der Stichprobe überein — oder ist der Unterschied zu groß für Zufall?
- Fehler 1. und 2. ArtAuch eine korrekt durchgeführte Testentscheidung kann falsch liegen — auf zwei verschiedene Arten
- M10-MeisterprüfungStandardfehler, Konfidenzintervall, Hypothesentest und Fehlerarten in einer Prüfung
Modul 11: Matura-Vorbereitung: Grundkompetenzen
- Grundkompetenzen: Algebra & GeometrieKein neuer Stoff — das typische Prüfungsformat: schnell ablesen und einordnen statt lange rechnen
- Grundkompetenzen: Funktionale AbhängigkeitenEigenschaften direkt vom Funktionsterm ablesen — ohne einen einzigen Punkt zu berechnen
- Grundkompetenzen: AnalysisAbleitung und Integral in Sachkontexten richtig interpretieren — die häufigste Matura-Aufgabenform
- Grundkompetenzen: Wahrscheinlichkeit & StatistikKenngrößen richtig interpretieren, statt sie nur zu berechnen
- M11-MeisterprüfungAlle vier Handlungsbereiche gemischt — genau wie in Teil 1 der Matura
Modul 12: Matura-Vorbereitung: Erweiterte Aufgaben
- Erweiterte Aufgabe: die SeilbahnEine zusammenhängende Sachsituation, mehrere Teilaufgaben — genau wie in Teil 2 der Matura
- Erweiterte Aufgabe: das abkühlende GetränkEine Modellierungsaufgabe mit Grenzwert — Anfangswert, Grenzwert und ein konkreter Zeitpunkt
- Erweiterte Aufgabe: die GewinnfunktionEine vollständige Extremwertaufgabe — Nullstellen, Extremstelle und Extremwert in einer Sachsituation
- Erweiterte Aufgabe: die QualitätskontrolleBinomialverteilung UND Konfidenzintervall in einer Sachsituation — zwei verschiedene Streuungsgrößen
- M12-MeisterprüfungSeilbahn, Getränk, Gewinnfunktion und Qualitätskontrolle gemischt — der Abschluss der 8. Klasse
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