📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 4 im Überblick: ohne gegebene Grenzen sind die Nullstellen von f die Integralgrenzen, und der Flächeninhalt ist immer der Betrag des Integralwerts. Bei zwei Kurven rechnet man IMMER obere minus untere Funktion, dann integriert man die Differenz — ohne Grenzen sucht man die Schnittpunkte durch Gleichsetzen. Und bevor man den Hauptsatz überhaupt anwendet, muss man prüfen, ob f auf dem GANZEN Intervall definiert und stetig ist — eine Polstelle im Intervall macht das Integral uneigentlich.
A=|F(b)−F(a)|. Zwei Kurven: A=∫[obere−untere]dx. Erst Stetigkeit im Intervall prüfen, dann Hauptsatz anwenden.
Beispiel 1
f(x)=9x(4−x) hat Nullstellen bei x=0 und x=4. Bestimme den Flächeninhalt, den der Graph von f mit der x-Achse zwischen diesen Nullstellen einschließt.
f(x)=9x(4−x), Nullstellen x=0, x=4
- A=96, denn mit F(x)=−3x³+18x² (BEIDE Terme der Stammfunktion) gilt F(4)−F(0)=96−0=96
- A=192, nur den ersten Term der Stammfunktion (−3x³) verwendet, den zweiten Term (18x²) vergessen
- A=288, nur den zweiten Term der Stammfunktion (18x²) verwendet, den ersten Term (−3x³) vergessen
So kommst du darauf: F(4)−F(0)=96−0=96.
Beispiel 2
f(x)=1/(x−1) hat eine Polstelle bei x=1. Kann man ∫₋₁³f(x)dx mit dem Hauptsatz direkt berechnen?
f(x)=1/(x−1), Polstelle x=1, Intervall [−1;3]
- Nein, denn die Polstelle x=1 liegt IM Intervall [−1;3] — das Integral ist uneigentlich, der Hauptsatz ist hier nicht direkt anwendbar
- Ja, der Hauptsatz funktioniert immer, unabhängig von Polstellen
- Diese Frage lässt sich ohne genaue Rechnung nicht beantworten
So kommst du darauf: x=1 liegt zwischen −1 und 3.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der drei Themen aus Modul 4 fällt mir noch am schwersten — Fläche zur x-Achse, Fläche zwischen zwei Kurven, oder uneigentliche Flächen erkennen?"
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