📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Hauptsatz A=F(b)−F(a) setzt voraus, dass f auf dem GANZEN Intervall [a;b] definiert und stetig ist. Hat f eine Polstelle (Definitionslücke) MITTEN im Intervall, ist diese Voraussetzung verletzt — das Integral heißt dann „uneigentlich" und braucht eine gesonderte Untersuchung (Grenzwertbetrachtung), bevor man es überhaupt sinnvoll berechnen kann. Liegt die Polstelle AUSSERHALB des Intervalls, ist f dort stetig und der Hauptsatz funktioniert ganz normal. Auch ein unbeschränktes Intervall (z.B. bis ∞) macht ein Integral uneigentlich — dort bildet man den Grenzwert der oberen Grenze b→∞.
Hauptsatz braucht Stetigkeit im GANZEN Intervall. Polstelle im Intervall → uneigentlich. Polstelle außerhalb → normal anwendbar.
Beispiel 1
Warum darf man den Hauptsatz A=F(b)−F(a) NICHT einfach anwenden, wenn f(x) an einer Stelle x=c IM Intervall [a;b] eine Polstelle (Definitionslücke) hat?
Polstelle im Intervall — warum ist der Hauptsatz dann ungültig?
- Weil der Hauptsatz voraussetzt, dass f auf dem GESAMTEN Intervall [a;b] definiert und stetig ist — bei einer Polstelle ist diese Voraussetzung verletzt
- Der Hauptsatz funktioniert trotzdem immer, man muss nur den Betrag am Ende nehmen
- Man muss nur die Stammfunktion an der Polstelle selbst auswerten und diesen Wert ignorieren
So kommst du darauf: Stetigkeit im ganzen Intervall ist Voraussetzung des Hauptsatzes.
Beispiel 2
f(x)=1/(x−1) hat eine Polstelle bei x=1. Kann man ∫₋₁³f(x)dx mit dem Hauptsatz direkt berechnen?
f(x)=1/(x−1), Polstelle x=1, Intervall [−1;3]
- Nein, denn die Polstelle x=1 liegt IM Intervall [−1;3] — das Integral ist uneigentlich, der Hauptsatz ist hier nicht direkt anwendbar
- Ja, der Hauptsatz funktioniert immer, unabhängig von Polstellen
- Diese Frage lässt sich ohne genaue Rechnung nicht beantworten
So kommst du darauf: x=1 liegt zwischen −1 und 3.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch: bevor ich den Hauptsatz anwende, muss ich prüfen, ob f auf dem GANZEN Intervall definiert ist?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Uneigentliche Flächen erkennen. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen