📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei allgemeinen Potenzfunktionen f(x)=a·xⁿ gilt beim Quadrieren: (xⁿ)²=x^(2n) — der Exponent wird VERDOPPELT, nicht um 2 erhöht und nicht mit sich selbst multipliziert. Danach wird wie gewohnt integriert: die Stammfunktion von a²·x^(2n) ist (a²/(2n+1))·x^(2n+1). Das Volumen ist V=π·(a²/(2n+1))·qⁿ⁺¹ ausgewertet an den Grenzen.
(xⁿ)²=x^(2n) — Exponent verdoppeln, nicht erhöhen. Dann normal integrieren: durch (2n+1) teilen.
Beispiel 1
Warum reicht es nicht, beim Quadrieren einer Potenz den Exponenten einfach um 2 zu erhöhen?
Warum nicht einfach +2 beim Exponenten?
- Weil Quadrieren hoch 2 bedeutet — bei (xⁿ)² multipliziert man die Exponenten (n·2), man addiert sie nicht
- Man darf durchaus +2 rechnen, das Ergebnis ist immer dasselbe
- Der Exponent bleibt beim Quadrieren unverändert
So kommst du darauf: (xⁿ)ᵐ=x^(n·m), nicht x^(n+m).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass sich der Exponent beim Quadrieren VERDOPPELT (mal 2), nicht einfach um 2 erhöht?"
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