📌 Das Wichtigste in einem Satz
Rotieren zwei Funktionen f (außen) und g (innen), mit f(x)≥g(x)≥0, gemeinsam um die x-Achse, entsteht ein Hohlkörper — wie ein Rohr. Das Volumen ist V=π·∫ₐᵇ([f(x)]²−[g(x)]²)dx. WICHTIG: man quadriert BEIDE Funktionen EINZELN und subtrahiert DANN die Quadrate. [f(x)−g(x)]² (erst subtrahieren, dann quadrieren) ist etwas GANZ ANDERES — quadrieren ist nicht additiv/subtraktiv.
V=π·∫ₐᵇ([f(x)]²−[g(x)]²)dx. Beide Funktionen EINZELN quadrieren, dann subtrahieren — NICHT [f(x)−g(x)]².
Beispiel 1
f (außen) und g (innen) werden im Intervall [a;b] um die x-Achse rotiert — es entsteht ein Hohlkörper (f(x)≥g(x)≥0). Mit welcher Formel berechnet man dessen Volumen?
Hohlkörper zwischen f (außen) und g (innen) — welche Formel?
- V=π·∫ₐᵇ([f(x)]²−[g(x)]²)dx — man quadriert BEIDE Funktionen EINZELN, und subtrahiert dann die Quadrate
- V=π·∫ₐᵇ[f(x)−g(x)]²dx — man bildet zuerst die Differenz, und quadriert dann diese Differenz
- V=π·∫ₐᵇ[f(x)]²dx — man berücksichtigt nur die äußere Kurve, die innere wird ignoriert
So kommst du darauf: Quadrieren ist nicht additiv — beide Funktionen müssen einzeln quadriert werden.
Beispiel 2
Warum ist [f(x)−g(x)]² NICHT dasselbe wie [f(x)]²−[g(x)]²?
Warum sind diese zwei Ausdrücke unterschiedlich?
- Quadrieren ist nicht additiv/subtraktiv — [f(x)−g(x)]² enthält einen zusätzlichen gemischten Term −2·f(x)·g(x), der bei [f(x)]²−[g(x)]² nicht auftaucht
- Es sind tatsächlich zwei gleichwertige Schreibweisen für dieselbe Sache
- Der Unterschied liegt nur im Vorzeichen, sonst ist es dasselbe
So kommst du darauf: (f−g)²=f²−2fg+g² ≠ f²−g².
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch: [f(x)]²−[g(x)]² ist NICHT dasselbe wie [f(x)−g(x)]²?"
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