📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 5 im Überblick: Rotationsvolumen um die x-Achse ist V=π·∫ₐᵇ[f(x)]²dx — erst quadrieren (dabei verdoppelt sich der Exponent, ein Minus verschwindet), dann integrieren, dann mit π multiplizieren. Bei Hohlkörpern zwischen zwei Kurven gilt V=π·∫ₐᵇ([f(x)]²−[g(x)]²)dx — BEIDE Funktionen einzeln quadrieren, nicht die Differenz. Die bekannten Kegel- und Kugelformeln aus der Unterstufe lassen sich durch Rotation von f(x)=(r/h)x bzw. f(x)=√(r²−x²) exakt herleiten.
V=π∫[f(x)]²dx. Hohlkörper: π∫([f(x)]²−[g(x)]²)dx. Kegel: (r/h)x auf [0;h]. Kugel: √(r²−x²) auf [−r;r].
Beispiel 1
Warum müssen die Integrationsgrenzen bei der Kugel-Herleitung [−r;r] sein, nicht [0;r]?
Warum die Grenzen [−r;r] bei der Kugel?
- Weil eine Kugel mit Radius r einen Durchmesser von 2r hat — das Intervall [−r;r] deckt genau diesen vollständigen Durchmesser ab
- Es spielt keine Rolle, [0;r] und [−r;r] ergeben dasselbe Volumen
- Weil negative x-Werte in der Formel f(x)=√(r²−x²) sonst nicht erlaubt sind
So kommst du darauf: [0;r] wäre nur eine Halbkugel.
Beispiel 2
Warum ist [f(x)−g(x)]² NICHT dasselbe wie [f(x)]²−[g(x)]²?
Warum sind diese zwei Ausdrücke unterschiedlich?
- Quadrieren ist nicht additiv/subtraktiv — [f(x)−g(x)]² enthält einen zusätzlichen gemischten Term −2·f(x)·g(x)
- Es sind tatsächlich zwei gleichwertige Schreibweisen für dieselbe Sache
- Der Unterschied liegt nur im Vorzeichen, sonst ist es dasselbe
So kommst du darauf: (f−g)²=f²−2fg+g² ≠ f²−g².
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der vier Themen aus Modul 5 fällt mir noch am schwersten — Grundlagen, allgemeine Potenzfunktionen, Hohlkörper, oder die Herleitung bekannter Formeln?"
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