📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Mittelwert (Durchschnittswert) einer Funktion f im Intervall [a;b] ist m=1/(b−a)·∫ₐᵇf(x)dx. Man integriert f über das ganze Intervall — das liefert die (mit Vorzeichen versehene) Fläche — und teilt DANACH durch die Intervalllänge (b−a). Wichtig: nicht mit dem Mittelwert der beiden Randwerte f(a) und f(b) verwechseln — dafür müsste man über das GESAMTE Intervall integrieren, nicht nur die Ränder betrachten.
m=1/(b−a)·∫ₐᵇf(x)dx. Reihenfolge: erst integrieren, dann durch die Intervalllänge teilen.
Beispiel 1
Wie berechnet man den Mittelwert (Durchschnittswert) einer Funktion f im Intervall [a;b]?
Mittelwert einer Funktion — welche Formel?
- m=1/(b−a)·∫ₐᵇf(x)dx — erst integrieren, dann durch die Intervalllänge teilen
- m=∫ₐᵇf(x)dx — den Divisor vergessen
- m=1/(b−a)·[f(a)+f(b)]/2 — nur die Randwerte gemittelt
So kommst du darauf: Erst integrieren, dann durch (b−a) teilen.
Beispiel 2
Warum ist m=1/(b−a)·[f(a)+f(b)]/2 NICHT dieselbe Formel wie der echte Mittelwert einer Funktion?
Warum ist das Mitteln der Randwerte falsch?
- Weil dabei nur die WERTE AN DEN RÄNDERN a und b betrachtet werden — was dazwischen passiert (z. B. ein Maximum in der Mitte) bleibt komplett unberücksichtigt
- Es ist tatsächlich dieselbe Formel, nur anders geschrieben
- Der Unterschied ist nur, dass man durch 2 statt durch (b−a) teilt
So kommst du darauf: Der echte Mittelwert braucht das Integral über das GANZE Intervall.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WANN ich durch die Intervalllänge teile — vor oder nach dem Integrieren?"
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