📌 Das Wichtigste in einem Satz
Diese Lektion verbindet zwei Welten: die GEOMETRIE einer Geraden g:X=A+t·u und die ALGEBRA einer quadratischen Gleichung. Fragt man „Für welchen Parameter t hat der Punkt X(t) einen bestimmten Abstand d von einem festen Punkt Z?", stellt man die Bedingung (X(t)−Z)²=d² auf. Weil der Abstand über eine Wurzel aus einer Quadratsumme definiert ist, führt das Quadrieren zu einem Term mit t² — die lineare Geradengleichung wird dadurch zu einer QUADRATISCHEN Gleichung in t, mit typischerweise ZWEI Lösungen (der Punkt X(t) trifft den vorgegebenen Abstand meist an zwei Stellen der Geraden).
(X(t)−Z)²=d² aufstellen → quadratische Gleichung in t → meist ZWEI Lösungen.
Beispiel 1
Die Frage „Für welchen Parameter t hat der Punkt X(t) auf der Geraden g einen bestimmten Abstand d von einem festen Punkt Z?" führt zu einer QUADRATISCHEN Gleichung in t, obwohl die Geradengleichung selbst LINEAR in t ist. Warum?
Warum wird aus einer linearen Geradengleichung eine quadratische Gleichung in t?
- Weil der Abstand über eine Wurzel aus einer Quadratsumme definiert ist — quadriert man beide Seiten, entsteht ein Term mit t²
- Weil Geradengleichungen im Raum grundsätzlich quadratisch sind, nicht linear
- Weil man den festen Punkt Z quadrieren muss, bevor man ihn einsetzt
So kommst du darauf: Die Abstandsformel bringt das Quadrat ins Spiel, nicht die Gerade selbst.
Beispiel 2
Die Gerade g:X=(2|2)+t·(1|0) und der Punkt Z=(1|−4) sind gegeben. Für welche(n) Wert(e) von t hat der Punkt X(t) den Abstand 10 von Z?
g:X=(2|2)+t·(1|0), Z=(1|−4), Abstand=10
- t=−9 oder t=7, denn (X(t)−Z)²=(1+t)²+6²=10² führt zu (1+t)²=8², also t=−9 oder t=7
- t=7, nur eine Lösung angegeben, die zweite (t=−9) beim Wurzelziehen vergessen
- t=−7 oder t=9, beim Auflösen das Vorzeichen falsch gesetzt
So kommst du darauf: 1+t=±8 → t=7 oder t=−9.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Vergesse ich manchmal eine der beiden Lösungen, wenn ich eine quadratische Gleichung durch Wurzelziehen löse?"
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