📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 7 im Überblick: Bruchgleichungen (x+a)/(x+b)=k löst man durch kreuzweises Multiplizieren, mit einem Pflicht-Vergleich der Lösung gegen die Definitionsmenge x≠−b. Gleichungen mit gebrochenen Exponenten x^(p/q)=c löst man, indem man beide Seiten mit dem KEHRWERT (q/p) potenziert. Das Spatprodukt V=|(a×b)·c| liefert das Volumen eines Parallelepipeds — erst Kreuzprodukt, dann Skalarprodukt, dann Betrag. Und bei der Frage nach einem bestimmten Abstand auf einer Geraden führt die Abstandsformel zu einer QUADRATISCHEN Gleichung mit meist ZWEI Lösungen.
Bruchgleichung: kreuzweise multiplizieren + Definitionsmenge. Wurzelgleichung: mit Kehrwert potenzieren. Spatprodukt: V=|(a×b)·c|. Synthese: (X(t)−Z)²=d² → 2 Lösungen.
Beispiel 1
Löse die Bruchgleichung (x+5)/(x+1)=−3 (mit x≠−1).
(x+5)/(x+1)=−3
- x=−2, denn x+5=−3·(x+1) führt zu x=−2, und −2≠−1 — die Lösung ist gültig
- x=−1, den ausgeschlossenen Wert der Definitionsmenge als Lösung angegeben
- x=5, nur die Zahl aus dem Zähler übernommen
So kommst du darauf: x+5=−3x−3 → 4x=−8 → x=−2.
Beispiel 2
Löse die Gleichung x^(1/2)=3 nach x auf (mit x≥0).
x^(1/2)=3
- x=9, denn man potenziert beide Seiten mit dem Kehrwert des Exponenten: x=3^2=9
- x=1.7, den Bruch im Exponenten als Multiplikationsfaktor missverstanden
- x=3, denselben Exponenten statt seines Kehrwerts verwendet
So kommst du darauf: Kehrwert von 1/2 ist 2, also x=3²=9.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der vier Themen aus Modul 7 fällt mir noch am schwersten — Bruchgleichungen, Wurzelgleichungen, Spatprodukt, oder die Synthese-Aufgabe?"
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