📌 Das Wichtigste in einem Satz
In rechtwinkeligen Dreiecken mit demselben spitzen Winkel α ist das Verhältnis von je zwei Seiten IMMER gleich groß — egal wie groß das Dreieck insgesamt ist. Dieses Verhältnis hängt nur vom Winkel α ab, nicht von der Größe des Dreiecks.
Ein Dreieck (3,4,5) und ein doppelt so großes Dreieck (6,8,10) haben denselben Winkel α — und genau deshalb ist z. B. Gegenkathete:Hypotenuse bei beiden exakt 0,6.
Beispiel 1
Ein Dreieck hat die Seiten 3, 4, 5 (Hypotenuse 5). Ein ähnliches, doppelt so großes Dreieck hat die Seiten 6, 8, 10. Wie verhält sich Gegenkathete (3 bzw. 6) zu Hypotenuse (5 bzw. 10) in beiden Fällen?
Dreieck (3,4,5) und (6,8,10)
- Beide Male 0,6 — das Verhältnis bleibt gleich
- Beim größeren Dreieck ist das Verhältnis doppelt so groß
- Die Verhältnisse lassen sich nicht vergleichen
So kommst du darauf: 3:5=0,6 und 6:10=0,6 — obwohl das zweite Dreieck doppelt so groß ist, bleibt das Verhältnis exakt gleich.
Beispiel 2
Warum bleibt das Seitenverhältnis in ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecken gleich, wenn der Winkel gleich bleibt?
Warum konstantes Verhältnis?
- Weil beim Vergrößern alle Seiten um denselben Faktor wachsen — das Verhältnis zweier Seiten bleibt dabei unverändert
- Das ist reiner Zufall bei diesen speziellen Zahlen
- Weil der rechte Winkel sich beim Vergrößern verändert
So kommst du darauf: Skaliert man ein Dreieck um den Faktor k, werden alle Seiten mit k multipliziert — im Verhältnis zweier Seiten kürzt sich k heraus.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Warum ändert sich das Seitenverhältnis nicht, wenn ich ein Dreieck vergrößere, der Winkel aber gleich bleibt?"
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