📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 9 im Überblick: In ähnlichen rechtwinkeligen Dreiecken sind die Seitenverhältnisse zu einem Winkel immer gleich groß — das sind sin α=GK/HYP, cos α=AK/HYP, tan α=GK/AK (SOH-CAH-TOA). Ist eine Seite gesucht, wird multipliziert oder dividiert; ist der Winkel gesucht, braucht man die Umkehrfunktion (sin⁻¹, cos⁻¹, tan⁻¹).
Vor jeder Aufgabe: Skizze zeichnen, rechten Winkel markieren, Gegenkathete/Ankathete/Hypotenuse bezogen auf den gegebenen Winkel benennen — dann erst die passende Funktion wählen.
Beispiel 1
Zwei rechtwinkelige Dreiecke haben denselben Winkel α, sind aber unterschiedlich groß. Was gilt für das Verhältnis Gegenkathete:Hypotenuse (bezogen auf α)?
Ähnliche Dreiecke, gleicher Winkel α
- Es ist in beiden Dreiecken gleich groß, weil die Dreiecke ähnlich sind
- Es ist im größeren Dreieck automatisch größer
- Es hängt nur von der Größe des Dreiecks ab, nicht vom Winkel
So kommst du darauf: In ähnlichen Dreiecken sind alle Seitenverhältnisse zu einem Winkel konstant — unabhängig von der Größe des Dreiecks.
Beispiel 2
Wie ist der Sinus eines Winkels α in einem rechtwinkeligen Dreieck definiert?
Definition: Sinus
- Gegenkathete durch Hypotenuse (GK÷HYP)
- Ankathete durch Hypotenuse (AK÷HYP)
- Gegenkathete durch Ankathete (GK÷AK)
So kommst du darauf: sin α=Gegenkathete÷Hypotenuse. Das b) wäre der Kosinus, c) der Tangens.
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