📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Erwartungswert E(X) ist die mit den Wahrscheinlichkeiten GEWICHTETE Summe aller möglichen Ergebnisse: E(X) = x₁·p₁ + x₂·p₂ + ... Er sagt, was bei sehr vielen Wiederholungen im Durchschnitt herauskommt — NICHT der einfache (ungewichtete) Durchschnitt der Ergebnisse.
Merkregel: Jedes Ergebnis MIT seiner Wahrscheinlichkeit multiplizieren, dann alle Produkte addieren.
Beispiel 1
Ein Spiel zahlt mit Wahrscheinlichkeit 1/4 den Betrag 10€ und mit Wahrscheinlichkeit 3/4 den Betrag 2€. Wie groß ist der Erwartungswert?
10€ mit p=1/4, 2€ mit p=3/4
- 4€, denn E(X)=10·1/4+2·3/4=2,5+1,5=4
- 6€, denn (10+2):2=6 (einfacher Durchschnitt ohne Wahrscheinlichkeiten)
- 12€, denn 10+2=12 (Beträge einfach addiert)
So kommst du darauf: E(X)=10·1/4+2·3/4=2,5+1,5=4€. Jeder Betrag wird mit seiner Wahrscheinlichkeit gewichtet, nicht einfach gemittelt.
Beispiel 2
Bei einem fairen Würfel gewinnt man genau die gewürfelte Augenzahl in Euro. Wie groß ist der Erwartungswert?
Augenzahlen 1-6, je p=1/6
- 3,5€, denn E(X)=(1+2+3+4+5+6)·1/6=21/6=3,5
- 3€, die mittlere Augenzahl gerundet statt berechnet
- 6€, die höchste mögliche Augenzahl statt des Durchschnitts
So kommst du darauf: Da jede Augenzahl gleich wahrscheinlich ist (p=1/6), ist E(X)=(1+2+3+4+5+6)/6=21/6=3,5€.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich jedes Ergebnis mit seiner Wahrscheinlichkeit multipliziere, bevor ich addiere?"
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