📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei Sachaufgaben mit bedingter Wahrscheinlichkeit zuerst eine Vierfeldertafel AUS DEM TEXT aufbauen: 1) Anzahl der Kranken/Gesunden aus dem Prozentsatz berechnen. 2) Richtig-positive = Kranke·Erkennungsrate. 3) Falsch-positive = Gesunde·Falsch-Alarm-Rate. 4) P(krank|positiv) = Richtig-positive : (Richtig-positive + Falsch-positive) — NICHT durch die Gesamtbevölkerung teilen!
Merkregel: Nenner bei P(krank|positiv) ist die Anzahl ALLER positiv Getesteten (richtig + falsch positiv), nicht die Gesamtbevölkerung.
Beispiel 1
In einer Stadt mit 1000 Einwohnern sind 10% krank (100 Personen). Ein Test erkennt 90% der Kranken richtig (90 richtig-positiv) und zeigt bei 5% der 900 Gesunden fälschlich positiv (45 falsch-positiv). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, WENN der Test positiv ist?
90 richtig-positiv, 45 falsch-positiv
- 2/3, denn P(krank|positiv)=90:(90+45)=90:135=2/3
- 90/1000, die Gesamtbevölkerung statt aller positiv Getesteten als Nenner verwendet
- 90/100, nur die Kranken statt aller positiv Getesteten als Nenner verwendet
So kommst du darauf: P(krank|positiv)=90:(90+45)=90:135=2/3. Der Nenner ist die Anzahl ALLER positiv Getesteten (richtig- plus falsch-positiv), nicht die Gesamtbevölkerung oder nur die Kranken.
Beispiel 2
In einer Stadt mit 200 Einwohnern sind 20% krank (40 Personen, 160 gesund). Ein Test erkennt 80% der Kranken richtig (32 richtig-positiv) und zeigt bei 5% der Gesunden fälschlich positiv (8 falsch-positiv). Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, WENN der Test positiv ist?
32 richtig-positiv, 8 falsch-positiv
- 4/5, denn P(krank|positiv)=32:(32+8)=32:40=4/5
- 32/200, die Gesamtbevölkerung statt aller positiv Getesteten als Nenner verwendet
- 32/40=4/5 wäre richtig, aber mit 32/160 (nur die Gesunden) verwechselt
So kommst du darauf: P(krank|positiv)=32:(32+8)=32:40=4/5.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich bei P(krank|positiv) durch ALLE positiv Getesteten teile — nicht durch die Gesamtbevölkerung?"
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