📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das Verhalten einer Polynomfunktion für sehr große (x→+∞) und sehr kleine (x→−∞) x-Werte hängt NUR vom Grad und vom Leitkoeffizienten ab. Gerader Grad + positiver Leitkoeffizient: beide Enden nach OBEN. Gerader Grad + negativ: beide Enden nach UNTEN. Ungerader Grad + positiv: links unten, rechts oben. Ungerader Grad + negativ: links oben, rechts unten.
Alle anderen Glieder (außer dem mit dem höchsten Grad) werden für sehr große |x| bedeutungslos — nur der Leitterm zählt.
Beispiel 1
Wie verhält sich y=2x⁴−3x²+1 für sehr große und sehr kleine x?
y = 2x⁴ − 3x² + 1
- Beide Enden gehen nach oben (gerader Grad 4, positiver Leitkoeffizient 2)
- Beide Enden gehen nach unten
- Links unten, rechts oben
So kommst du darauf: Grad 4 ist GERADE, Leitkoeffizient 2 ist POSITIV → beide Enden gehen nach oben.
Beispiel 2
Wie verhält sich y=−x³+5x−2 für sehr große und sehr kleine x?
y = −x³ + 5x − 2
- Links oben, rechts unten (ungerader Grad 3, negativer Leitkoeffizient −1)
- Beide Enden gehen nach oben
- Links unten, rechts oben
So kommst du darauf: Grad 3 ist UNGERADE, Leitkoeffizient −1 ist NEGATIV → links oben, rechts unten.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass NUR Grad und Leitkoeffizient das Verhalten im Unendlichen bestimmen, nicht die anderen Glieder?"
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