📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer faktorisierten Polynomfunktion siehst du am Faktor jeder Nullstelle, wie sich der Graph dort verhält: kommt der Faktor EINFACH vor (z. B. (x−2)), ÜBERSCHREITET der Graph die x-Achse. Kommt er DOPPELT vor (z. B. (x−1)²), BERÜHRT der Graph die x-Achse nur, ohne sie zu überschreiten.
Zum Skizzieren brauchst du: Nullstellen mit ihrer Art (berühren/überschreiten) UND das Verhalten im Unendlichen (aus Grad und Leitkoeffizient).
Beispiel 1
Wie verhält sich der Graph von y=(x−1)²(x+2) bei x=1?
y = (x−1)²(x+2)
- Er berührt die x-Achse bei x=1, ohne sie zu überschreiten (doppelte Nullstelle)
- Er überschreitet die x-Achse bei x=1
- Er hat bei x=1 gar keine Nullstelle
So kommst du darauf: Der Faktor (x−1) kommt DOPPELT vor — bei einer doppelten Nullstelle berührt der Graph die x-Achse nur, ohne sie zu überschreiten.
Beispiel 2
Wie verhält sich der Graph von y=(x−2)(x+1)(x+3) bei x=2?
y = (x−2)(x+1)(x+3)
- Er überschreitet die x-Achse bei x=2 (einfache Nullstelle)
- Er berührt die x-Achse bei x=2, ohne sie zu überschreiten
- Er hat bei x=2 gar keine Nullstelle
So kommst du darauf: Der Faktor (x−2) kommt nur EINFACH vor — bei einer einfachen Nullstelle überschreitet der Graph die x-Achse.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass eine doppelte Nullstelle den Graphen nur berühren, nicht überschreiten lässt?"
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