📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine rationale Funktion ist ein Bruch aus zwei Polynomen: f(x)=Zähler(x)/Nenner(x). Da man NIEMALS durch 0 teilen darf, sind genau die x-Werte, für die der NENNER 0 wird, DEFINITIONSLÜCKEN — dort ist die Funktion nicht definiert. Um Definitionslücken zu finden, setzt man den Nenner gleich 0 und löst nach x auf — der Zähler spielt dabei (vorerst) keine Rolle.
Merkregel: Definitionslücken = Nullstellen des NENNERS, nicht des Zählers.
Beispiel 1
Für f(x)=1/(x−3): wo liegt die Definitionslücke?
f(x) = 1/(x−3)
- x=3, denn dort wird der Nenner (x−3) gleich 0
- x=1, denn der Zähler wird mit der Definitionslücke verwechselt
- x=0, denn immer bei x=0 wird eine Funktion undefiniert
So kommst du darauf: x−3=0 ⟺ x=3 — dort wird der Nenner 0, die Funktion ist dort nicht definiert.
Beispiel 2
Für f(x)=(x+1)/((x−2)(x+4)): wo liegen die Definitionslücken?
f(x) = (x+1)/((x−2)(x+4))
- x=2 und x=−4, denn dort wird jeweils einer der beiden Faktoren im Nenner 0
- x=−1, denn der Zähler wird mit den Definitionslücken verwechselt
- x=2, −4 und −1, alle drei Werte werden als Definitionslücken angegeben
So kommst du darauf: (x−2)=0 ⟺ x=2, und (x+4)=0 ⟺ x=−4 — das sind die beiden Definitionslücken. x=−1 ist nur eine Nullstelle des Zählers, keine Definitionslücke.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass für Definitionslücken NUR der Nenner wichtig ist, nicht der Zähler?"
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