📌 Das Wichtigste in einem Satz
Nicht jede Definitionslücke ist eine POLSTELLE mit senkrechter Asymptote! Wenn ein Faktor sowohl im Zähler ALS AUCH im Nenner vorkommt, kann man ihn KÜRZEN — dort entsteht eine HEBBARE LÜCKE (nur ein „Loch" im Graphen, keine Asymptote). Kommt ein Faktor NUR im Nenner vor, bleibt er nach dem Kürzen übrig — dort entsteht eine echte POLSTELLE mit senkrechter Asymptote x=a.
Merkregel: Faktor in Zähler UND Nenner → hebbare Lücke (kürzbar). Faktor nur im Nenner → Polstelle (senkrechte Asymptote).
Beispiel 1
Für f(x)=(x−2)/((x−2)(x+3)): welche der beiden Definitionslücken (x=2 und x=−3) ist eine echte Polstelle?
f(x)=(x−2)/((x−2)(x+3))
- x=−3 ist eine Polstelle. x=2 ist eine hebbare Lücke, da sich der Faktor (x−2) kürzen lässt
- Beide sind Polstellen, da beide Definitionslücken sind
- x=2 ist die einzige Polstelle, x=−3 ist hebbar
So kommst du darauf: (x−2) steht in Zähler UND Nenner — kürzbar, also hebbare Lücke bei x=2. (x+3) steht nur im Nenner — echte Polstelle bei x=−3.
Beispiel 2
Was ist der Unterschied zwischen einer hebbaren Lücke und einer Polstelle?
Hebbare Lücke vs. Polstelle
- Bei einer hebbaren Lücke lässt sich der gemeinsame Faktor kürzen (nur ein Loch im Graphen). Bei einer Polstelle bleibt der Faktor nur im Nenner übrig — dort gibt es eine senkrechte Asymptote
- Es gibt keinen Unterschied, beide Begriffe bedeuten dasselbe
- Eine hebbare Lücke tritt nur bei geraden Exponenten auf, eine Polstelle nur bei ungeraden
So kommst du darauf: Der entscheidende Unterschied ist, ob sich der gemeinsame Faktor kürzen lässt (hebbar) oder nicht (Polstelle).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich zuerst prüfen muss, ob sich ein Faktor kürzen lässt, bevor ich von einer Polstelle spreche?"
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