📌 Das Wichtigste in einem Satz
Um das Verhalten einer rationalen Funktion für x→±∞ zu bestimmen, vergleicht man den GRAD des Zählers (n) mit dem GRAD des Nenners (m): Ist n
Merkregel: Grad Zähler < Grad Nenner → y=0. Grad Zähler = Grad Nenner → y=Leitkoeff./Leitkoeff. Grad Zähler > Grad Nenner → keine waagrechte Asymptote.
Beispiel 1
Für f(x)=3/(x²−1): Grad des Zählers ist 0, Grad des Nenners ist 2. Welche waagrechte Asymptote hat die Funktion?
Grad Zähler=0, Grad Nenner=2
- y=0, denn der Grad des Zählers ist kleiner als der Grad des Nenners
- y=3, der Zählerwert wird direkt als Asymptote übernommen
- Keine waagrechte Asymptote, da der Nenner einen höheren Grad hat
So kommst du darauf: Grad Zähler (0) < Grad Nenner (2) ⟹ y=0.
Beispiel 2
Für f(x)=(2x+1)/(x−3): Grad des Zählers ist 1, Grad des Nenners ist 1 (gleich). Welche waagrechte Asymptote hat die Funktion?
Grad Zähler=1, Grad Nenner=1, Leitkoeff. 2 und 1
- y=2, denn y=Leitkoeffizient Zähler/Leitkoeffizient Nenner=2/1=2
- y=1, der Nennerkoeffizient wird direkt übernommen
- Keine waagrechte Asymptote, da beide Grade gleich sind
So kommst du darauf: Bei gleichem Grad teilt man die Leitkoeffizienten: 2/1=2.
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„Weiß ich noch, dass ich bei GLEICHEM Grad die LEITKOEFFIZIENTEN dividieren muss, nicht irgendwelche anderen Zahlen?"
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