📌 Das Wichtigste in einem Satz
Um den Graphen einer rationalen Funktion zu skizzieren, sammelt man VIER Bausteine: (1) NULLSTELLEN — wo der ZÄHLER 0 wird (und der Nenner dort nicht auch 0 ist). (2) y-ACHSENABSCHNITT — der Wert f(0), also einfach x=0 einsetzen. (3) POLSTELLEN — wo der Nenner 0 wird (senkrechte Asymptoten). (4) WAAGRECHTE ASYMPTOTE — aus dem Vergleich der Grade von Zähler und Nenner. Mit diesen vier Informationen lässt sich der grobe Verlauf des Graphen skizzieren.
Merkregel: Nullstelle=Zähler 0. y-Achsenabschnitt=f(0). Polstelle=Nenner 0. Waagrechte Asymptote=Gradvergleich.
Beispiel 1
Für f(x)=(x−2)/(x+1): wo liegt die Nullstelle?
f(x)=(x−2)/(x+1)
- x=2, denn dort wird der ZÄHLER (x−2) gleich 0, und der Nenner ist dort nicht 0
- x=−1, denn die Nullstelle wird mit der Polstelle verwechselt
- x=0, denn Nullstellen liegen immer bei x=0
So kommst du darauf: Nullstellen kommen vom ZÄHLER: x−2=0 ⟺ x=2. Der Nenner bei x=2 ist 2+1=3≠0, also ist es eine gültige Nullstelle.
Beispiel 2
Für f(x)=(x−2)/(x+1): wie groß ist der y-Achsenabschnitt f(0)?
f(x)=(x−2)/(x+1)
- −2, denn f(0)=(0−2)/(0+1)=−2/1=−2
- 2, das Vorzeichen wird beim Einsetzen vertauscht
- −1, der Nennerwert wird mit dem y-Achsenabschnitt verwechselt
So kommst du darauf: f(0)=(0−2)/(0+1)=−2/1=−2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass die Nullstelle vom ZÄHLER kommt, während die Polstelle vom NENNER kommt?"
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