📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Binomialkoeffizient „n über k" (geschrieben C(n,k) oder mit dem Klammersymbol) hat wichtige SONDERFÄLLE: C(n,0)=1 (es gibt genau EINE Möglichkeit, NICHTS auszuwählen — die leere Auswahl), C(n,n)=1 (es gibt genau EINE Möglichkeit, ALLES auszuwählen), und C(n,1)=n (n Möglichkeiten, GENAU EIN Objekt auszuwählen). Außerdem gilt die PASCALSCHE REGEL: C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k) — jeder Wert im Pascalschen Dreieck ist die SUMME der zwei darüberliegenden Werte.
Merkregel: C(n,0)=1, C(n,n)=1, C(n,1)=n. Pascalsche Regel: C(n,k)=C(n−1,k−1)+C(n−1,k).
Beispiel 1
Wie groß ist C(6,0) — auf wie viele Arten kann man aus 6 Objekten GAR KEINS auswählen?
C(6,0) = ?
- 1, denn es gibt genau EINE Möglichkeit, nichts auszuwählen (die leere Auswahl)
- 0, denn man wählt ja gar nichts aus
- 6, denn die Gesamtanzahl der Objekte wird verwendet
So kommst du darauf: Es gibt genau eine Art, „nichts" auszuwählen — die leere Auswahl selbst ist eine eindeutige, wohldefinierte Möglichkeit.
Beispiel 2
Wie groß ist C(6,6) — auf wie viele Arten kann man aus 6 Objekten ALLE 6 auswählen?
C(6,6) = ?
- 1, denn es gibt genau EINE Möglichkeit, alle Objekte auszuwählen
- 6, denn die Anzahl der Objekte wird direkt übernommen
- 720, denn 6!=720 wird mit C(6,6) verwechselt
So kommst du darauf: Es gibt nur eine Möglichkeit, ALLE Objekte auszuwählen — man lässt keine Wahl offen.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM C(n,0)=1 ist, obwohl man dabei gar nichts auswählt?"
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