📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer KOMBINATION MIT Wiederholung darf man dasselbe Objekt mehrfach auswählen (z.B. mehrere Kugeln derselben Eissorte), wobei die REIHENFOLGE weiterhin KEINE Rolle spielt (nur zählt, WIE OFT jede Sorte gewählt wird). Die Formel lautet C(n+k−1,k): man wählt k Objekte aus n Sorten, aber jetzt mit n+k−1 statt nur n, weil man sich k Sterne (Objekte) und n−1 Balken (Trennstriche zwischen den Sorten) in einer Reihe vorstellt — von den n+k−1 Positionen wählt man k für die Sterne aus.
Merkregel: C(n+k−1,k) — bei Wiederholung wird n durch n+k−1 ersetzt (Sterne-und-Balken-Prinzip).
Beispiel 1
In einer Eisdiele gibt es 3 Sorten. Du wählst 4 Kugeln, jede Sorte darf mehrfach vorkommen, Reihenfolge egal. Wie viele Kombinationen sind möglich?
C(3+4−1,4)=C(6,4), 3 Sorten, 4 Kugeln
- 15, denn C(3+4−1,4)=C(6,4)=15
- 81, denn 3⁴=81, die Reihenfolge wird fälschlich berücksichtigt
- 35, denn C(3+4,4)=C(7,4)=35, die −1 wird vergessen
So kommst du darauf: C(3+4−1,4)=C(6,4)=15 — man wählt 4 Sterne aus 6 Positionen (4 Kugeln + 2 Trennstriche zwischen 3 Sorten).
Beispiel 2
Was ist der Unterschied zwischen einer Kombination MIT und OHNE Wiederholung?
Mit vs. ohne Wiederholung
- Bei einer Kombination MIT Wiederholung darf dasselbe Objekt mehrfach gewählt werden (Formel: C(n+k−1,k)). Bei einer Kombination OHNE Wiederholung darf jedes Objekt höchstens einmal gewählt werden (Formel: C(n,k))
- Es gibt keinen Unterschied, beide Formeln liefern immer dasselbe Ergebnis
- Bei Wiederholung muss k immer kleiner als n sein
So kommst du darauf: Der Wiederholungs-Unterschied ist entscheidend: mit Wiederholung darf ein Objekt mehrfach gewählt werden, daher braucht man auch mehr „Platz" in der Formel (n+k−1 statt n).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM man bei Wiederholung n+k−1 statt nur n in die Formel einsetzt?"
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