📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer Bernoulli-Kette mit n unabhängigen Versuchen (Trefferwahrscheinlichkeit p pro Versuch) ist die Wahrscheinlichkeit für GENAU k Treffer: P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k). Der Binomialkoeffizient C(n,k) zählt, auf WIE VIELE ARTEN die k Treffer unter den n Versuchen verteilt sein können (Reihenfolge der Treffer/Nieten spielt sonst keine Rolle) — p^k ist die Wahrscheinlichkeit für k Treffer HINTEREINANDER, (1−p)^(n−k) die Wahrscheinlichkeit für die restlichen (n−k) Nieten. Alle drei Faktoren werden MULTIPLIZIERT, weil es sich um unabhängige Ereignisse handelt, die alle gleichzeitig eintreten müssen.
Merkregel: P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) — Binomialkoeffizient mal Trefferwahrscheinlichkeit hoch k mal Gegenwahrscheinlichkeit hoch (n−k).
Beispiel 1
Eine Münze wird 4-mal geworfen (p=0,5 für Kopf). Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit für GENAU 2 Mal Kopf?
n=4, k=2, p=0,5 — P(X=2)=?
- C(4,2)·0,5²·0,5²=6·0,25·0,25=0,375, denn P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k)
- 0,5²=0,25, der Binomialkoeffizient wird vergessen
- 0,5⁴=0,0625, es wird nur p⁴ statt der vollständigen Formel gerechnet
So kommst du darauf: P(X=2)=C(4,2)·0,5²·0,5²=6·0,0625·4=0,375 — den Binomialkoeffizienten NICHT vergessen, er zählt die Anordnungen.
Beispiel 2
Warum steht in der Formel P(X=k)=C(n,k)·p^k·(1−p)^(n−k) der Faktor C(n,k)?
Warum C(n,k) in der Formel?
- Weil es C(n,k) verschiedene Reihenfolgen gibt, in denen genau k Treffer unter n Versuchen auftreten können — ohne diesen Faktor würde man nur EINE bestimmte Reihenfolge zählen, nicht alle möglichen
- C(n,k) ist nur ein Rundungsfaktor ohne inhaltliche Bedeutung
- C(n,k) wird nur gebraucht, wenn p=0,5 ist
So kommst du darauf: C(n,k) zählt ALLE Reihenfolgen der k Treffer unter n Versuchen — ohne diesen Faktor bekäme man nur die Wahrscheinlichkeit für EINE spezifische Reihenfolge.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM der Binomialkoeffizient C(n,k) in der Formel vorkommt?"
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