📌 Das Wichtigste in einem Satz
Bei einer Binomialverteilung mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p ist der ERWARTUNGSWERT E(X)=n·p — die im Schnitt zu erwartende Anzahl an Treffern. Die STANDARDABWEICHUNG σ(X)=√(n·p·(1−p)) beschreibt, wie stark die tatsächliche Trefferzahl typischerweise um den Erwartungswert schwankt. Die Varianz Var(X)=n·p·(1−p) muss man erst mit der WURZEL versehen, um die Standardabweichung zu erhalten — die Varianz allein ist NICHT die Standardabweichung, da sie in „quadrierten" Einheiten gemessen wird.
Merkregel: E(X)=n·p (Erwartungswert), σ(X)=√(n·p·(1−p)) (Standardabweichung — Wurzel nicht vergessen!).
Beispiel 1
Ein Test wird n=10-mal durchgeführt, Trefferwahrscheinlichkeit p=0,3. Wie viele Treffer erwartet man im Schnitt?
n=10, p=0,3 — E(X)=?
- 3, denn E(X)=n·p=10·0,3=3
- 0,3, denn nur p wird verwendet, ohne mit n zu multiplizieren
- 10,3, denn n und p werden addiert statt multipliziert
So kommst du darauf: E(X)=n·p=10·0,3=3 — der Erwartungswert braucht IMMER beide Größen, n und p, multipliziert.
Beispiel 2
Ein Test wird n=20-mal durchgeführt, p=0,3. Die Varianz ist Var(X)=n·p·(1−p)=4,2. Wie berechnet man daraus die Standardabweichung σ(X)?
Var(X)=4,2 — σ(X)=?
- σ(X)=√4,2≈2,05, denn man muss aus der Varianz die WURZEL ziehen
- σ(X)=4,2, die Varianz wird direkt als Standardabweichung übernommen, ohne die Wurzel zu ziehen
- σ(X)=4,2:2=2,1, es wird durch 2 geteilt statt die Wurzel gezogen
So kommst du darauf: Die Standardabweichung ist die WURZEL aus der Varianz: σ(X)=√Var(X), nicht die Varianz selbst und keine Division durch 2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, WARUM man bei der Standardabweichung die Wurzel ziehen muss?"
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