📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Betrag (die Länge) eines Vektors im Raum wird mit dem erweiterten Satz des Pythagoras berechnet: |v|=√(x²+y²+z²) — eine dritte quadrierte Komponente kommt einfach dazu. Da jede Komponente quadriert wird, spielt ihr Vorzeichen für den Betrag keine Rolle: |(−3;4;12)|=|(3;4;12)|=13.
Merkregel: |v|=√(x²+y²+z²). Vorzeichen der Komponenten spielen keine Rolle, da quadriert wird.
Beispiel 1
Wie lautet die Formel für den Betrag eines Vektors v=(x;y;z) im Raum?
|v| = ?
- |v|=√(x²+y²+z²)
- |v|=x+y+z
- |v|=√(x²+y²)
So kommst du darauf: Der Betrag im Raum ist die Wurzel aus der Summe der drei quadrierten Komponenten.
Beispiel 2
Berechne den Betrag von v=(1;2;2)
v=(1;2;2)
- 3, denn |v|=√(1²+2²+2²)=√(1+4+4)=√9=3
- 5, denn |v|=1+2+2=5
- 9, denn die Wurzel wird vergessen: 1²+2²+2²=9
So kommst du darauf: |v|=√(1²+2²+2²)=√(1+4+4)=√9=3.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass beim Betrag ALLE DREI Komponenten quadriert und addiert werden, bevor die Wurzel gezogen wird?"
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