📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das Skalarprodukt v·w zweier Vektoren wird komponentenweise multipliziert und dann addiert: v·w=vₓ·wₓ+v_y·w_y+v_z·w_z. Das Ergebnis ist IMMER eine einzige Zahl (ein Skalar), NIEMALS ein Vektor — daher der Name. Es gilt v·w=w·v (das Skalarprodukt ist kommutativ, die Reihenfolge spielt keine Rolle).
Merkregel: v·w=vₓwₓ+v_yw_y+v_zw_z. Ergebnis ist eine Zahl, kein Vektor.
Beispiel 1
Wie wird das Skalarprodukt v·w für v=(vₓ;v_y;v_z) und w=(wₓ;w_y;w_z) berechnet?
v·w = ?
- v·w=vₓ·wₓ+v_y·w_y+v_z·w_z
- v·w=(vₓ·wₓ;v_y·w_y;v_z·w_z), komponentenweise, Ergebnis ein Vektor
- v·w=(vₓ+wₓ;v_y+w_y;v_z+w_z)
So kommst du darauf: Beim Skalarprodukt werden die Komponenten paarweise multipliziert und dann ALLE Ergebnisse addiert — das ergibt eine einzige Zahl.
Beispiel 2
Berechne das Skalarprodukt von v=(1;2;3) und w=(4;5;6)
v=(1;2;3), w=(4;5;6)
- 32, denn v·w=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32
- (4;10;18), die Multiplikationen werden nicht addiert
- 15, denn v·w=1+2+3+4+5+6=21... nein: die Komponenten werden addiert statt multipliziert
So kommst du darauf: v·w=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32.
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„Weiß ich noch, dass beim Skalarprodukt zuerst komponentenweise MULTIPLIZIERT und dann ADDIERT wird — und das Ergebnis eine Zahl ist?"
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