📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Winkel α zwischen zwei Vektoren v und w lässt sich über das Skalarprodukt berechnen: cos(α)=(v·w)/(|v|·|w|). Man berechnet also zuerst das Skalarprodukt v·w und die beiden Beträge |v| und |w|, teilt dann v·w durch das Produkt der Beträge. Ist cos(α) positiv, ist der Winkel spitz (kleiner als 90°); ist cos(α) negativ, ist der Winkel stumpf (größer als 90°).
Merkregel: cos(α)=(v·w)/(|v|·|w|). Positiv=spitzer Winkel, negativ=stumpfer Winkel.
Beispiel 1
Wie lautet die Formel für den Winkel α zwischen zwei Vektoren v und w?
cos(α) = ?
- cos(α)=(v·w)/(|v|·|w|)
- cos(α)=v·w
- cos(α)=|v|·|w|
So kommst du darauf: Der Winkel wird über das Skalarprodukt, geteilt durch das Produkt der beiden Beträge, berechnet.
Beispiel 2
Berechne cos(α) für v=(1;2;2) und w=(2;3;6). Es gilt v·w=20, |v|=3, |w|=7.
v·w=20, |v|=3, |w|=7
- 0,95, denn cos(α)=20/(3·7)=20/21≈0,95
- 20, denn cos(α)=v·w allein, ohne Division
- 6,67, denn cos(α)=20/3, nur durch |v| geteilt
So kommst du darauf: cos(α)=v·w/(|v|·|w|)=20/(3·7)=20/21≈0,95.
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„Weiß ich noch, dass ich für die Winkelformel DREI Dinge brauche: das Skalarprodukt und die beiden Beträge?"
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