📌 Das Wichtigste in einem Satz
Zwei Vektoren v und w stehen genau dann senkrecht (orthogonal) aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist: v⊥w ⟺ v·w=0. Das folgt direkt aus der Winkelformel: cos(90°)=0, also muss auch der Zähler v·w der Formel cos(α)=(v·w)/(|v|·|w|) 0 sein. Man braucht dafür NICHT die Beträge zu berechnen — der reine Skalarprodukt-Test reicht.
Merkregel: v⊥w ⟺ v·w=0. Kein Bedarf, die Beträge zu berechnen — nur das Skalarprodukt zählt.
Beispiel 1
Wann stehen zwei Vektoren v und w senkrecht (orthogonal) aufeinander?
v⊥w ⟺ ?
- v⊥w ⟺ v·w=0
- v⊥w ⟺ |v|=|w|
- v⊥w ⟺ v·w=1
So kommst du darauf: Zwei Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt 0 ist.
Beispiel 2
Sind v=(2;3;6) und w=(3;−6;2) orthogonal?
v=(2;3;6), w=(3;−6;2)
- Ja, denn v·w=2·3+3·(−6)+6·2=6−18+12=0
- Nein, denn die Komponenten sind unterschiedlich
- Das lässt sich ohne Zeichnung nicht bestimmen
So kommst du darauf: v·w=6−18+12=0, also sind v und w orthogonal.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich für den Orthogonalitäts-Test NUR das Skalarprodukt brauche, keine Beträge?"
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