📌 Das Wichtigste in einem Satz
Das Vektorprodukt (Kreuzprodukt) v×w zweier Vektoren ergibt — anders als das Skalarprodukt — WIEDER EINEN VEKTOR: v×w=(v_y·w_z−v_z·w_y; v_z·w_x−v_x·w_z; v_x·w_y−v_y·w_x). Dieser neue Vektor steht IMMER senkrecht auf v UND auf w gleichzeitig. Das Vektorprodukt ist NICHT kommutativ: v×w=−(w×v) — vertauscht man die Reihenfolge, dreht sich das Vorzeichen um.
Merkregel: v×w=(v_yw_z−v_zw_y; v_zw_x−v_xw_z; v_xw_y−v_yw_x). Ergebnis: ein Vektor senkrecht zu v UND w. v×w=−(w×v).
Beispiel 1
Wie wird das Vektorprodukt v×w berechnet?
v×w = ?
- v×w=(v_yw_z−v_zw_y; v_zw_x−v_xw_z; v_xw_y−v_yw_x)
- v×w=v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z (eine einzige Zahl)
- v×w=(v_xw_x; v_yw_y; v_zw_z)
So kommst du darauf: Das Vektorprodukt hat diese spezielle „über-Kreuz"-Formel für jede Komponente.
Beispiel 2
Berechne v×w für v=(2;1;3) und w=(1;4;2)
v=(2;1;3), w=(1;4;2)
- (−10;−1;7), denn v×w=(1·2−3·4; 3·1−2·2; 2·4−1·1)=(2−12;3−4;8−1)
- 2, denn v×w=2·1+1·4+3·2=2+4+6=12... nein, das ist das Skalarprodukt
- (2;4;6), komponentenweise multipliziert
So kommst du darauf: v×w=(1·2−3·4; 3·1−2·2; 2·4−1·1)=(2−12;3−4;8−1)=(−10;−1;7).
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass das Vektorprodukt (anders als das Skalarprodukt) wieder einen VEKTOR ergibt, der senkrecht zu beiden Ausgangsvektoren steht?"
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