📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 3 im Überblick: Skalarprodukt v·w=v_xw_x+v_yw_y+v_zw_z (Ergebnis: eine ZAHL, kommutativ). Winkel: cos(α)=(v·w)/(|v|·|w|), positiv=spitz, negativ=stumpf. Orthogonalität: v⊥w ⟺ v·w=0 (Spezialfall, keine Beträge nötig). Vektorprodukt v×w=(v_yw_z−v_zw_y; v_zw_x−v_xw_z; v_xw_y−v_yw_x) (Ergebnis: ein VEKTOR senkrecht zu v und w, NICHT kommutativ: v×w=−(w×v)). Flächen: A(Parallelogramm)=|v×w|, A(Dreieck)=½·|v×w|.
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: Wird eine Zahl (Skalarprodukt/Winkel) oder ein Vektor (Vektorprodukt) gesucht?
Beispiel 1
Berechne das Skalarprodukt von v=(1;2;3) und w=(4;5;6)
v=(1;2;3), w=(4;5;6)
- 32, denn v·w=1·4+2·5+3·6=4+10+18=32
- (4;10;18), die Multiplikationen werden nicht addiert
- 21, die Komponenten werden addiert statt multipliziert
So kommst du darauf: v·w=1·4+2·5+3·6=32.
Beispiel 2
Sind v=(2;3;6) und w=(3;−6;2) orthogonal?
v=(2;3;6), w=(3;−6;2)
- Ja, denn v·w=2·3+3·(−6)+6·2=6−18+12=0
- Nein, denn die Komponenten sind unterschiedlich
- Das lässt sich ohne Zeichnung nicht bestimmen
So kommst du darauf: v·w=0, also orthogonal.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Welches der fünf Themen aus Modul 3 fällt mir noch am schwersten?"
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