📌 Das Wichtigste in einem Satz
Will man mit der PARAMETERFORM prüfen, ob ein Punkt P in einer Ebene E:X=A+s·u+t·v liegt, setzt man P=A+s·u+t·v und löst DREI Gleichungen (x,y,z) nach ZWEI Unbekannten (s,t) auf. Man löst ZWEI der drei Gleichungen nach s und t auf und setzt das Ergebnis in die DRITTE Gleichung ein: Stimmt sie, liegt P in der Ebene. Stimmt sie nicht, liegt P NICHT in der Ebene. (Mit der Normalvektorform aus Lektion 2 geht das schneller — aber diese Methode funktioniert auch, wenn man nur die Parameterform kennt.)
Merkregel: P=A+s·u+t·v → 3 Gleichungen, 2 Unbekannte (s,t). Zwei lösen, dritte als Probe.
Beispiel 1
Wie viele Gleichungen und wie viele Unbekannte hat man, wenn man P=A+s·u+t·v für die Punktprobe einer Ebene aufstellt?
P=A+s·u+t·v
- 3 Gleichungen (x,y,z), 2 Unbekannte (s,t)
- 2 Gleichungen, 2 Unbekannte
- 3 Gleichungen, 3 Unbekannte
So kommst du darauf: Jede Koordinate liefert eine Gleichung (drei insgesamt), gesucht sind aber nur s und t (zwei Unbekannte) — genau wie beim Schnittpunkt zweier Geraden in Modul 4.
Beispiel 2
Für E:X=(1;2;3)+s·(1;0;2)+t·(0;1;1) und P=(3;5;10): aus den x- und y-Gleichungen ergibt sich s=2, t=3. Die z-Gleichung: 3+2·2+3·1=10 und die z-Koordinate von P ist 10 — stimmt das überein?
z-Probe: 3+2·2+3·1 vs. 10
- Ja, beide ergeben 10 — P liegt in der Ebene
- Nein, die Werte müssten unterschiedlich sein
- Das lässt sich ohne weitere Rechnung nicht sagen
So kommst du darauf: 3+2·2+3·1=3+4+3=10, und die z-Koordinate von P ist ebenfalls 10 — die Probe bestätigt, P liegt in der Ebene.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich bei der Parameterform-Punktprobe DREI Gleichungen für nur ZWEI Unbekannte habe — genau wie beim Schnittpunkt zweier Geraden?"
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