📌 Das Wichtigste in einem Satz
Für eine Gerade g:X=A+t·u und eine Ebene E:n∘X=d prüft man zuerst n∘u: Ist n∘u≠0, SCHNEIDET die Gerade die Ebene in genau einem Punkt (t=(d−n∘A)/(n∘u) einsetzen). Ist n∘u=0, ist u senkrecht zu n — die Gerade verläuft PARALLEL zur Ebenen-Ausrichtung. Dann prüft man, ob A in der Ebene liegt (n∘A=d?): wenn ja, liegt die GANZE Gerade in der Ebene; wenn nein, ist die Gerade echt parallel (kein gemeinsamer Punkt).
Merkregel: n∘u≠0 → schneidend. n∘u=0 UND n∘A=d → Gerade liegt in der Ebene. n∘u=0 UND n∘A≠d → echt parallel.
Beispiel 1
Für die Ebene 2x+3y−z=5 (n=(2;3;−1), d=5) und die Gerade g:X=(0;2;2)+t·(−2;1;−2): berechne n∘u für u=(−2;1;−2)
n=(2;3;−1), u=(−2;1;−2)
- n∘u=1, denn 2·(−2)+3·1+(−1)·(−2)=−4+3+2=1
- n∘u=0, weil u drei verschiedene Vorzeichen hat
- n∘u=−6, denn nur die erste Komponente verwendet
So kommst du darauf: n∘u=2·(−2)+3·1+(−1)·(−2)=−4+3+2=1.
Beispiel 2
Da n∘u=1≠0 ist, schneidet die Gerade die Ebene. Mit n∘A=4 und d=5: berechne t=(d−n∘A)/(n∘u)
d=5, n∘A=4, n∘u=1
- t=1, denn (5−4):1=1
- t=9, denn (5+4)·1=9
- t=−1, denn (4−5):1=−1, Reihenfolge vertauscht
So kommst du darauf: t=(d−n∘A)/(n∘u)=(5−4)/1=1.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich ERST n∘u prüfe, und nur bei n∘u=0 zusätzlich n∘A mit d vergleichen muss?"
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