📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Abstand eines Punktes P von einer Ebene n∘X=d wird berechnet mit d(P,E)=|n∘P−d|/|n|. Man setzt P einfach in die linke Seite der Normalvektorform ein, zieht d ab, nimmt den Betrag, und teilt durch |n|. Ist P Teil der Ebene, ergibt n∘P−d genau 0 — der Abstand ist dann 0.
Merkregel: d(P,E)=|n∘P−d|/|n|. Einsetzen, d abziehen, Betrag, durch |n| teilen.
Beispiel 1
Wie berechnet man den Abstand eines Punktes P von einer Ebene n∘X=d?
d(P,E) = ?
- d(P,E)=|n∘P−d|/|n|
- d(P,E)=|P|−d, ohne Normalvektor
- d(P,E)=|n|/|n∘P−d|, die Division verkehrt herum
So kommst du darauf: Man setzt P in n∘X ein, zieht d ab, nimmt den Betrag und teilt durch |n|.
Beispiel 2
Für n=(1;2;2) (|n|=3), d=4, P=(3;1;1): berechne zuerst n∘P
n∘P = ?
- n∘P=7, denn 1·3+2·1+2·1=3+2+2=7
- n∘P=6, denn 1+2+2 mit P komponentenweise addiert statt Skalarprodukt
- n∘P=3, das ist einfach |n|
So kommst du darauf: n∘P=1·3+2·1+2·1=3+2+2=7.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich zuerst n∘P berechnen muss, bevor ich d abziehen und durch |n| teilen kann?"
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