📌 Das Wichtigste in einem Satz
Zwei parallele Ebenen n∘X=d1 und n∘X=d2 (gleicher Normalvektor n, evtl. skaliert — hier: exakt gleicher n) haben den Abstand d=|d2−d1|/|n|. Man wählt EINEN beliebigen Punkt aus einer der beiden Ebenen und wendet die Punkt-Ebene-Formel aus Lektion 1 an — oder, noch einfacher, wenn beide Gleichungen denselben Normalvektor n verwenden, subtrahiert man direkt die beiden d-Werte und teilt durch |n|.
Merkregel: d=|d2−d1|/|n|, wenn beide Ebenen denselben Normalvektor n haben.
Beispiel 1
Zwei Ebenen haben denselben Normalvektor n, aber n∘X=d1 und n∘X=d2. Wie berechnet man ihren Abstand?
d = ?
- d=|d2−d1|/|n|
- d=d2−d1, ohne durch |n| zu teilen
- d=|n|/|d2−d1|, die Division verkehrt herum
So kommst du darauf: Bei gleichem Normalvektor braucht man nur die d-Werte zu subtrahieren und durch |n| zu teilen.
Beispiel 2
Für n=(1;2;2) (|n|=3): E1:n∘X=4 und E2:n∘X=7. Wie groß ist der Abstand?
d1=4, d2=7, |n|=3
- 1, denn d=|7−4|/3=3:3=1
- 3, denn die Division durch |n| wird vergessen
- 9, denn d=(7−4)·|n|=3·3=9
So kommst du darauf: d=|7−4|/3=3:3=1.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass ich nur die zwei d-Werte subtrahieren muss, wenn beide Ebenen denselben Normalvektor haben?"
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