📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Winkel φ zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren u und v wird berechnet mit cos(φ)=|u∘v|/(|u|·|v|) — MIT BETRAGSSTRICHEN um u∘v! Das ist der entscheidende Unterschied zum Winkel zwischen Vektoren aus Modul 3: eine Gerade hat keine feste Richtung (u und −u beschreiben dieselbe Gerade), daher nimmt man IMMER den spitzen Winkel (0°≤φ≤90°), was der Betrag garantiert.
Merkregel: cos(φ)=|u∘v|/(|u|·|v|) — der Betrag um u∘v sorgt für den spitzen Winkel.
Beispiel 1
Wie berechnet man den Winkel φ zwischen zwei Geraden mit Richtungsvektoren u und v?
cos(φ) = ?
- cos(φ)=|u∘v|/(|u|·|v|), MIT Betrag um u∘v
- cos(φ)=u∘v/(|u|·|v|), ohne Betrag, wie bei Vektoren
- cos(φ)=|u|·|v|/u∘v, die Division verkehrt herum
So kommst du darauf: Bei Geraden nimmt man IMMER den Betrag um u∘v, damit der Winkel zwischen 0° und 90° liegt.
Beispiel 2
Für u=(1;2;2) (|u|=3) und v=(2;3;6) (|v|=7): u∘v=20. Berechne cos(φ)
u∘v=20, |u|=3, |v|=7
- ≈0,95, denn cos(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95
- 20, denn cos(φ)=u∘v allein, ohne Division
- ≈6,67, denn cos(φ)=20/3, nur durch |u| geteilt
So kommst du darauf: cos(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95.
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„Weiß ich noch, WARUM man beim Winkel zwischen Geraden den Betrag um das Skalarprodukt setzen muss?"
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