📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Winkel φ zwischen einer Geraden (Richtungsvektor u) und einer Ebene (Normalvektor n) wird berechnet mit sin(φ)=|u∘n|/(|u|·|n|) — MIT SINUS, nicht Kosinus! Der Grund: der Normalvektor n steht senkrecht auf der Ebene, also ist der Winkel zwischen u und n der KOMPLEMENTÄRWINKEL (90°−φ) zum gesuchten Winkel zwischen Gerade und Ebene. Da sin(90°−α)=cos(α) gilt, wird aus der cos-Formel für u und n eine sin-Formel für den Geraden-Ebenen-Winkel.
Merkregel: sin(φ)=|u∘n|/(|u|·|n|) — Sinus, weil n senkrecht auf der Ebene steht, nicht in ihr liegt.
Beispiel 1
Wie berechnet man den Winkel φ zwischen einer Geraden (Richtungsvektor u) und einer Ebene (Normalvektor n)?
sin(φ) = ?
- sin(φ)=|u∘n|/(|u|·|n|)
- cos(φ)=|u∘n|/(|u|·|n|), wie beim Geradenwinkel
- sin(φ)=|u|·|n|/u∘n, die Division verkehrt herum
So kommst du darauf: Weil n senkrecht auf der Ebene steht, ist der Winkel zwischen u und n der Komplementärwinkel — daher sin statt cos.
Beispiel 2
Für u=(1;2;2) (|u|=3) und n=(2;3;6) (|n|=7): u∘n=20. Berechne sin(φ)
u∘n=20, |u|=3, |n|=7
- ≈0,95, denn sin(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95
- 20, denn sin(φ)=u∘n allein, ohne Division
- ≈6,67, denn sin(φ)=20/3, nur durch |u| geteilt
So kommst du darauf: sin(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95.
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„Weiß ich noch, WARUM hier Sinus statt Kosinus verwendet wird, obwohl die Formel genauso aussieht wie beim Skalarprodukt-Winkel?"
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