📌 Das Wichtigste in einem Satz
Der Winkel φ zwischen zwei Ebenen mit Normalvektoren n1 und n2 wird berechnet mit cos(φ)=|n1∘n2|/(|n1|·|n2|) — wieder MIT Kosinus, wie beim Geradenwinkel! Der Grund: n1 und n2 stehen jeweils senkrecht auf „ihrer" Ebene, daher entspricht der Winkel zwischen den Ebenen direkt dem Winkel zwischen den beiden Normalvektoren (mit Betrag, damit immer der spitze Winkel herauskommt).
Merkregel: cos(φ)=|n1∘n2|/(|n1|·|n2|) — Kosinus, weil beide Normalvektoren senkrecht zu „ihrer" Ebene stehen.
Beispiel 1
Wie berechnet man den Winkel φ zwischen zwei Ebenen mit Normalvektoren n1 und n2?
cos(φ) = ?
- cos(φ)=|n1∘n2|/(|n1|·|n2|)
- sin(φ)=|n1∘n2|/(|n1|·|n2|), wie beim Gerade-Ebene-Winkel
- cos(φ)=|n1|·|n2|/n1∘n2, die Division verkehrt herum
So kommst du darauf: Beide Normalvektoren stehen senkrecht auf „ihrer" Ebene — der Ebenenwinkel entspricht daher direkt dem Winkel zwischen den Normalvektoren.
Beispiel 2
Für n1=(1;2;2) (|n1|=3) und n2=(2;3;6) (|n2|=7): n1∘n2=20. Berechne cos(φ)
n1∘n2=20, |n1|=3, |n2|=7
- ≈0,95, denn cos(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95
- 20, denn cos(φ)=n1∘n2 allein, ohne Division
- ≈6,67, denn cos(φ)=20/3, nur durch |n1| geteilt
So kommst du darauf: cos(φ)=|20|/(3·7)=20/21≈0,95.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, dass hier wieder Kosinus verwendet wird — anders als beim Gerade-Ebene-Winkel mit Sinus?"
Weiter üben mit Mathe Octopus
Diese Lektion hat noch mehr Aufgaben, jeder Fehler wird erklärt, und im Übungsmodus gibt es beliebig viele frische Aufgaben zu Winkel zwischen zwei Ebenen. Der Lernplan wiederholt zur richtigen Zeit.
Ohne Karte, ohne Verpflichtung. Danach 7,90 € pro Monat, jederzeit kündbar. Preise ansehen