📌 Das Wichtigste in einem Satz
Modul 6 im Überblick: Abstand Punkt-Ebene d(P,E)=|n∘P−d|/|n|. Abstand paralleler Ebenen d=|d2−d1|/|n| (gleicher Normalvektor). Winkel zwischen Geraden cos(φ)=|u∘v|/(|u|·|v|), MIT Betrag. Winkel Gerade-Ebene sin(φ)=|u∘n|/(|u|·|n|), MIT Sinus (Komplementärwinkel-Effekt). Winkel zwischen Ebenen cos(φ)=|n1∘n2|/(|n1|·|n2|), wieder MIT Kosinus (kein Komplementärwinkel-Effekt, da beide Normalvektoren senkrecht zu „ihrer" Ebene stehen).
Bei jeder Aufgabe zuerst fragen: Geht es um einen Abstand oder einen Winkel? Bei Winkeln: Geraden/Ebenen (cos) oder Gerade-Ebene (sin)?
Beispiel 1
Für n=(1;2;2) (|n|=3), d=4, P=(3;1;1): berechne den Abstand d(P,E)
n=(1;2;2), d=4, P=(3;1;1)
- 1, denn n∘P=7, d(P,E)=|7−4|/3=3:3=1
- 3, denn n∘P−d=3, die Division wird vergessen
- 7, denn n∘P allein, ohne d abzuziehen
So kommst du darauf: d(P,E)=|n∘P−d|/|n|=|7−4|/3=1.
Beispiel 2
Für n=(2;3;6) (|n|=7): E1:n∘X=2 und E2:n∘X=16. Wie groß ist der Abstand der beiden Ebenen?
d1=2, d2=16, |n|=7
- 2, denn d=|16−2|/7=14:7=2
- 14, denn die Division durch |n| wird vergessen
- 2, denn d=|n| allein, ohne d1 und d2 zu verwenden
So kommst du darauf: d=|d2−d1|/|n|=|16−2|/7=2.
🗣️ Prüfe dich selbst
„Weiß ich noch, wann ich beim Winkel Sinus statt Kosinus verwenden muss?"
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