📌 Das Wichtigste in einem Satz
Eine REKURSIVE Darstellung definiert an über den VORHERIGEN Wert a(n−1): z. B. a(n)=a(n−1)+d (arithmetisch) oder a(n)=a(n−1)·q (geometrisch), zusammen mit dem Startwert a1. Um an zu berechnen, muss man sich schrittweise von a1 aus vorarbeiten — man kann NICHT direkt zu a100 springen, ohne vorher a99 zu kennen. Eine EXPLIZITE Darstellung wie an=a1+(n−1)·d braucht dagegen nur n und liefert an sofort, ohne Zwischenschritte.
Merkregel: rekursiv braucht den VORHERIGEN Wert, explizit braucht nur den Index n.
Beispiel 1
Was bedeutet eine REKURSIVE Darstellung einer Folge?
Rekursiv = ?
- an wird über den VORHERIGEN Wert a(n−1) definiert (z. B. an=a(n−1)+d), zusammen mit dem Startwert a1
- an wird direkt aus dem Index n berechnet, ohne vorherige Werte zu kennen
- Rekursiv und explizit bedeuten genau dasselbe
So kommst du darauf: Rekursiv bedeutet: der neue Wert hängt vom VORHERIGEN Wert ab, nicht direkt vom Index n.
Beispiel 2
Für die rekursive arithmetische Folge a1=4, an=a(n−1)+3: berechne a4 (Schritt für Schritt von a1 aus)
a1=4, an=a(n−1)+3
- 13, denn a2=4+3=7, a3=7+3=10, a4=10+3=13
- 16, denn a4=4+3·4=16, mit expliziter Formel und n statt (n−1) verwechselt
- 7, denn a4=a1+d, nur ein Schritt statt drei
So kommst du darauf: Man muss sich schrittweise vorarbeiten: a2=7, a3=10, a4=13.
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„Weiß ich noch, warum ich bei einer rekursiven Formel nicht direkt zu a100 springen kann, ohne die Werte davor zu kennen?"
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